एक कंपास के साथ कौन आया? कंपास का सबसे सरल रूप एक चुंबकीय तीर रॉड पर मजबूत है ताकि यह सभी दिशाओं में स्वतंत्र रूप से घूम सके। इस तरह के एक प्राचीन कंपास अंक के तीर उत्तर में, जिसके अंतर्गत पृथ्वी का उत्तरी चुंबकीय ध्रुव है।

निकोलाई फेडोटोव [गुरु] से जवाब
अंकगणित के साथ कौन आया?
अंकगणित - संख्याओं का विज्ञान। यह संख्याओं के मूल्यों, उनके प्रतीकों और उनके साथ काम करने के तरीकों से संबंधित है।
कोई भी अंकगणित "इनलेट्स" नहीं। यह मानव जरूरतों से उत्पन्न हुआ। सबसे पहले, लोगों ने केवल मात्रा की अवधारणा पर संचालित किया, लेकिन उन्हें अभी भी सोचा नहीं जा सका। उदाहरण के लिए, एक आदिम व्यक्ति कह सकता है कि उसने पर्याप्त जामुन एकत्र किए। पहली नज़र में शिकारी कह सकती थी कि उसने प्रतियों में से एक को खो दिया।
लेकिन समय था, और व्यक्ति को संख्याओं में मात्रा निर्धारित करने की आवश्यकता शुरू हो गई। चरवाहों को पशुओं के पशुओं पर विचार करना पड़ा। किसानों को मौसमी काम की शर्तों की गणना करने की आवश्यकता थी। इसलिए, बहुत समय पहले, यह ज्ञात नहीं है कि, संख्याओं और उनके नामों का भी आविष्कार किया गया था। ये संख्याएं हम पूर्णांक या प्राकृतिक कहते हैं।
बाद में, व्यक्ति ने इकाई से कम संख्या और पूर्णांक के बीच की संख्या ली। इस प्रकार भिन्न होते हैं। कई बार उपयोग में अन्य नंबर शामिल थे। उनमें से कुछ नकारात्मक हो गए, उदाहरण के लिए, शून्य से दो या शून्य सात।
संख्या अंकगणित का आधार बन गई है, और उसके बाद एक व्यक्ति ने चार मुख्य अंकगणितीय कार्यों का उत्पादन करना सीख लिया - गुना, कटौती, गुणा और विभाजित करने के लिए।
स्रोत: लिंक

से जवाब देना परिवार[गुरु]
अंकगणित, सकारात्मक वैध संख्याओं के साथ उत्पादित गणना की कला।
अंकगणित का संक्षिप्त इतिहास। गहरे प्राचीन काल के साथ, संख्याओं के साथ काम दो अलग-अलग क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: एक व्यक्ति सीधे संख्याओं के गुणों से संबंधित है, दूसरा खाता तकनीक से जुड़ा हुआ था। कई देशों में "अंकगणितीय" के तहत, आमतौर पर यह ध्यान में है कि यह अंतिम क्षेत्र है, जो निस्संदेह गणित का सबसे पुराना उद्योग है।
जाहिर है, प्राचीन गणनाओं में सबसे बड़ी कठिनाई ने अंशों के साथ काम किया। इसका आकलन अखम्मेस पपीरस (जिसे पापीरस रिंदा भी कहा जाता है), लगभग 1650 ईसा पूर्व से गणित की प्राचीन मिस्र की संरचना। इ। 2/3 के अपवाद के साथ, पपीरस में उल्लिखित सभी अंशों में संख्या 1 के बराबर अंक हैं। अंशों के संचलन की कठिनाई ध्यान देने योग्य है और प्राचीन-पहिया नैदानिक \u200b\u200bगोलियों का अध्ययन करते समय। और प्राचीन मिस्र के लोगों, और बेबीलोनियों ने जाहिर तौर पर, एबीएसीए की एक निश्चित विविधता के साथ गणना की। प्राचीन ग्रीक से लगभग 530 ईसा पूर्व पाइथगोरा से संख्याओं के विज्ञान को पर्याप्त विकास प्राप्त हुआ। इ। गणना की तकनीक के लिए सीधे, इस क्षेत्र में, यूनानियों को बहुत कम बनाया गया था।
बाद में बाद में, रोमियों ने व्यावहारिक रूप से संख्या के विज्ञान में कोई योगदान नहीं दिया, लेकिन तेजी से विकसित उत्पादन और व्यापार की जरूरतों के आधार पर, एबैकस को एक गणनीय डिवाइस के रूप में सुधार हुआ। भारतीय अंकगणित की उत्पत्ति के बारे में बहुत कम ज्ञात है। भारतीय पोजिशनिंग सिस्टम के बाद लिखित संख्याओं के साथ संचालन के सिद्धांत और अभ्यास के बारे में कुछ बाद में काम करता है, भारतीय पोजिशनिंग सिस्टम को शून्य में शामिल करके बढ़ाया गया है। जब यह बिल्कुल हुआ, यह हमारे लिए अज्ञात है, लेकिन तब यह था कि हमारे सबसे आम अंकगणितीय एल्गोरिदम की नींव रखी गई थी (संख्या और संख्या भी देखें)।
भारतीय संख्या प्रणाली और पहले अंकगणितीय एल्गोरिदम अरबों द्वारा उधार लिया गया था। हमारे लिए वांछित अरब पाठ्यपुस्तकों में से सबसे शुरुआती अरब पाठ्यपुस्तकों को 825 के आसपास अल-खोरेज़मी द्वारा लिखा गया था। इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और भारतीय आंकड़ों द्वारा समझाया जाता है। बाद में, इस पाठ्यपुस्तक का अनुवाद लैटिन में किया गया था और पश्चिमी यूरोप पर एक महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा था। अल-खोरेज़मी का विकृत संस्करण हमें "एल्गोरिथस" शब्द में पहुंचा, जो कि ग्रीक शब्द के साथ मिश्रण के साथ, एड्रिज "एल्गोरिदम" शब्द में बदल गया।
इंडो-अरबी अंकगणित पश्चिमी यूरोप में मुख्य रूप से एल। फिंबोनैकी पुस्तक अबाका (लिबर अबासी, 1202) की संरचना के लिए धन्यवाद। एबसी विधि ने और गुणा के लिए किसी भी मामले में, हमारी स्थिति प्रणाली के उपयोग के समान सरलीकृत किया। Abacists एल्गोरिदम बदल गए जो वर्ग रूट को विभाजित करने और निकालने के शून्य और अरबी विधि का उपयोग करते थे। पहली अंकगणित पाठ्यपुस्तकों में से एक, जिसके लेखक हम अज्ञात हैं, 1478 में ट्रेविसो (इटली) में बाहर आए। व्यापार लेनदेन करते समय यह गणना के बारे में था। यह पाठ्यपुस्तक बाद में कई अंकगणित पाठ्यपुस्तकों का पूर्ववर्ती बन गई है। 17 वी तक यूरोप में, तीन सौ से अधिक ऐसी पाठ्यपुस्तकों को प्रकाशित किया गया था। इस समय के दौरान अंकगणितीय एल्गोरिदम काफी सुधार हुए थे। 16-17 सदियों में। अंकगणितीय परिचालनों के प्रतीक प्रकट हुए, जैसे \u003d, +, -
ऐसा माना जाता है कि 1585 एस स्टीविन, लॉगरिदम - जे में कभी भी दशमलव अंशों का आविष्कार नहीं किया गया, 1614 में, लॉगरिदमिक लाइन - डब्ल्यू। 1622 में आउटपुट किया गया। 20 वीं शताब्दी के मध्य में आधुनिक एनालॉग और डिजिटल कंप्यूटिंग उपकरणों का आविष्कार किया गया।

अंकगणित गणित का सबसे बुनियादी, मूल वर्ग है। यह खाते में लोगों की जरूरतों के लिए बाध्य है।

मानसिक अंकगणित

मानसिक अंकगणित कहा जाता है? मानसिक अंकगणित एक त्वरित खाता सीखने का एक तरीका है जो पुरातनता से आया था।

वर्तमान में, पिछले के विपरीत, शिक्षक न केवल बच्चों के गति बच्चों को प्रशिक्षित करने की कोशिश करते हैं, बल्कि सोच विकसित करने का भी प्रयास करते हैं।

सीखने की प्रक्रिया स्वयं मस्तिष्क के दोनों गोलार्द्धों के उपयोग और विकास पर आधारित होती है। मुख्य बात यह है कि उन्हें एक साथ उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए, क्योंकि वे एक-दूसरे के पूरक हैं।

दरअसल, बाएं गोलार्ध तर्क, भाषण और तर्कसंगतता, और अधिकार के लिए जिम्मेदार है - कल्पना के लिए।

प्रशिक्षण कार्यक्रम में प्रशिक्षण कार्य और ऐसे उपकरण का उपयोग शामिल है अबेकस.

एबैकस मानसिक अंकगणित अध्ययन में मुख्य उपकरण है, क्योंकि छात्र उनके साथ काम करना सीखते हैं, नुकीले निचोड़ते हैं और खाते के सार को महसूस करते हैं। समय के साथ, एबैकस आपकी कल्पना बन जाता है, और शिक्षार्थी इन ज्ञान के आधार पर उनका प्रतिनिधित्व करते हैं और उदाहरण तय करते हैं।

इन सीखने के तरीकों की समीक्षा बहुत सकारात्मक हैं। एक ऋण है - प्रशिक्षण का भुगतान किया जाता है, और हर कोई इसे बर्दाश्त नहीं कर सकता है। इसलिए, प्रतिभा का मार्ग भौतिक स्थिति पर निर्भर करता है।

गणित और अंकगणितीय

गणित और अंकगणित निकटता से संबंधित अवधारणाएं हैं, और बल्कि अंकगणित हैं - गणित का एक वर्ग, संख्याओं और गणनाओं के साथ काम करना (संख्याओं के साथ क्रियाएं)।

अंकगणित मुख्य विभाजन है, और इसलिए गणित का आधार है। गणित का आधार सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएं और संचालन है जो आधार बनाते हैं जिस पर बाद के ज्ञान का निर्माण किया जा रहा है। मुख्य संचालन में शामिल हैं: अतिरिक्त, घटाव, गुणा, विभाजन।

एक नियम के रूप में अंकगणित, स्कूल में सीखने की शुरुआत से ही अध्ययन किया जाता है, यानी। प्रथम श्रेणी से। बच्चे गणित आधार में महारत हासिल कर रहे हैं।

इसके अलावा - यह एक अंकगणितीय प्रभाव है, जिस प्रक्रिया में दो संख्याओं को फोल्ड किया जाता है, और उनका परिणाम तीसरा होगा।

ए + बी \u003d सी.

घटाव - यह एक अंकगणितीय प्रभाव है, जिस प्रक्रिया में दूसरी संख्या पहले संख्या से घटा दी जाती है, और नतीजा तीसरा होगा।

इसके अलावा सूत्र के रूप में व्यक्त किया गया है: ए - बी \u003d सी.

गुणा - यह एक क्रिया है, जिसके परिणामस्वरूप एक ही शर्तों की राशि स्थित है।

इस कार्रवाई का सूत्र है: ए 1 + ए 2 + ... + ए \u003d एन * ए.

विभाजन- यह किसी भी संख्या या चर के बराबर भागों पर एक टूटना है।

पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें "मौखिक खाता को तेज करें, मानसिक अंकगणित नहीं" सीखने के लिए कि कैसे जल्दी और सही ढंग से गुना, कटौती, गुणा करना, विभाजित करना, संख्या को एक वर्ग में खड़ा करना और जड़ों को निकालने के लिए। 30 दिनों के लिए, आप सीखेंगे कि अंकगणितीय परिचालनों को सरल बनाने के लिए आसान तकनीकों का उपयोग कैसे करें। प्रत्येक पाठ में, नई तकनीक, समझने योग्य उदाहरण और उपयोगी कार्यों में।

प्रशिक्षण अंकगणित

प्रशिक्षण अंकगणित स्कूल की दीवारों में बनाया जाता है। प्रथम श्रेणी से, बच्चे गणित के मूल और मुख्य खंड का अध्ययन करना शुरू करते हैं - अंकगणित।

संख्या

अंकगणित नियम

अभिव्यक्ति में संचालन करने की प्रक्रिया बहुत महत्वपूर्ण है!

यदि उदाहरण में फॉर्म 2 + 3-4 है, तो इसमें ऑर्डर कोई भी हो सकता है। क्योंकि अतिरिक्त और घटाव के अतिरिक्त समान प्राथमिकता है। यदि आप पहले अतिरिक्त समाप्त करते हैं, तो हमें मिलता है: 5-4 \u003d 1, और यदि पहले घटाना है, तो: 2-1 \u003d 1। जैसा कि आप देखते हैं कि परिणाम समान है।

इसी प्रकार, गुणा और विभाजन की अभिव्यक्ति के साथ। गुणा और विभाजन संचालन की प्राथमिकता है। उदाहरण के लिए, 2। 8: 4। पहले गुणा: 16: 4 \u003d 4, और यदि विभाजन: 22=4.

आदेश समझ में आता है जब अभिव्यक्ति या घटाव संचालन अभिव्यक्ति में मिश्रित होते हैं, गुणा या विभाजन संचालन के साथ। उदाहरण के लिए:

2+22. पहली कार्रवाई की जाती है हर एक चीज़ गुणा और विभाजन के संचालन, लेकिन केवल तभी अतिरिक्त और घटाव। वह है, अभिव्यक्ति 2 + 22 = 2+4=6.

लेकिन अभिव्यक्तियों में ब्रैकेट हैं। कोष्ठक के पास संचालन के क्रम को बदलने की संपत्ति होती है। पिछले उदाहरण पर विचार करें, केवल कोष्ठक के साथ: (2 + 2) * 2। इस मामले में, पहले संचालन कोष्ठक में किया जाता है, और फिर क्रम में ब्रैकेट के बाहर: 1. गुणा और विभाजन 2. अतिरिक्त और घटाव।

तो, (2 + 2) 2=4 2=8.

जैसा कि आप सुनिश्चित कर सकते हैं कि उदाहरण, ब्रैकेट की भूमिका है। और संचालन का क्रम वही है।

अंकगणित के सबक

अंकगणित के सबक - स्कूल सबक, छठी कक्षा तक। आगे गणित अपने वर्गों को खोलता है: ज्यामिति और बीजगणित, और बाद में त्रिकोणमिति।

अंकगणितीय वर्ग 5।

पांचवीं कक्षा में, स्कूलबॉय इस तरह से अध्ययन करना शुरू कर देता है कि कैसे: फ्रैक्शनल नंबर, मिश्रित संख्या। इन नंबरों के साथ संचालन के बारे में जानकारी आप प्रासंगिक परिचालनों के अनुसार हमारे लेखों में पा सकते हैं।

आंशिक संख्या - यह एक दूसरे के लिए दो संख्याओं का अनुपात है या संख्यात्मक को संख्यात्मक। विभाजन संख्या को विभाजन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ¼ \u003d 1: 4।

मिश्रित संख्या - यह एक आंशिक संख्या है, केवल एक पूरे हिस्से के साथ हाइलाइट किया गया है। पूरे हिस्से को इस शर्त के तहत आवंटित किया जाता है कि संख्यात्मक denominator से अधिक है। उदाहरण के लिए, यह एक अंश था: 5/4, इसे पूरे भाग को आवंटित करके परिवर्तित किया जा सकता है: 1 आता है और ¼।

प्रशिक्षण के लिए उदाहरण:

कार्य संख्या 1:

कार्य संख्या 2।:

अंकगणितीय ग्रेड 6।

6 वीं कक्षा में, लाइन रिकॉर्ड में अंशों के रूपांतरण का विषय प्रकट होता है। इसका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, ½ का अंश दिया गया है, यह 0.5 होगा। ¼ \u003d 0.25।

उदाहरणों को ऐसी शैली में संकलित किया जा सकता है: 0.25 + 0.73 + 12/31।

प्रशिक्षण के लिए उदाहरण:

कार्य संख्या 1:

कार्य संख्या 2।:

मौखिक खाते और खाता गति के विकास के लिए खेल

ऐसे उत्कृष्ट गेम हैं जो खाते के विकास में योगदान देते हैं, गणितीय क्षमताओं और गणितीय सोच, एक मौखिक खाता और खाता गति विकसित करने में मदद करते हैं! आप खेल सकते हैं और विकसित कर सकते हैं! क्या आपकी इसमें रूची है? खेल के बारे में संक्षिप्त लेख पढ़ें और खुद को आजमाने के लिए सुनिश्चित करें।

"चित्रा" खेल

खेल "चित्रा" आपको मौखिक खाते को तेज करने में मदद करेगा। खेल का सार यह है कि आपको प्रस्तुत तस्वीर पर, आपको उत्तर का चयन करने की आवश्यकता होगी या नहीं "प्रश्न 5 समान फल हैं?"। उनके उद्देश्य के लिए जाओ, और यह गेम आपकी मदद करेगा।

गणितीय तुलना खेल

"गणितीय तुलना" गेम को थोड़ी देर के लिए दो संख्याओं की तुलना की आवश्यकता होगी। यही है, आपको जितनी जल्दी हो सके दो संख्याओं में से एक चुनना होगा। याद रखें कि समय सीमित है, और जितना अधिक आप सही तरीके से उत्तर देते हैं, उतनी ही बेहतर आपकी गणितीय क्षमताओं का विकास होगा! कोशिश करते हैं?

खेल "त्वरित जोड़"

खेल "क्विक एडिशन" एक उत्कृष्ट त्वरित खाता सिम्युलेटर है। खेल का सार: 4x4 फ़ील्ड दी गई है, यही है। 16 नंबर, और सत्रहवीं क्षेत्र में। आपका लक्ष्य: अतिरिक्त के संचालन का उपयोग करके, सोलह संख्याओं की मदद से 17 बनाने के लिए। उदाहरण के लिए, उस क्षेत्र में आपने नंबर 28 लिखा है, फिर उस क्षेत्र में आपको 2 ऐसी संख्याएं मिलनी हैं जो राशि में संख्या 28 देगी। क्या आप अपनी ताकत की कोशिश करने के लिए तैयार हैं? फिर आगे, ट्रेन!

एक अभूतपूर्व मौखिक खाते का विकास

हमने गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए हिमशैल के शीर्ष की समीक्षा की - हमारे पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें: मौखिक खाते में तेजी लाने के लिए एक मानसिक अंकगणित नहीं है।

पाठ्यक्रम से आप केवल सरलीकृत और तेज़ गुणन, जोड़, गुणा, डिवीजनों, ब्याज की गणना करने के लिए दर्जनों तकनीकों को पहचान नहीं पाएंगे, बल्कि उन्हें विशेष कार्यों और शैक्षिक खेलों में भी काम करेंगे! मौखिक खाते को भी बहुत ध्यान और सांद्रता की आवश्यकता होती है जो दिलचस्प कार्यों को हल करने में सक्रिय रूप से प्रशिक्षित होते हैं।

तीस दिन

30 दिनों में 2-3 बार पढ़ने की गति बढ़ाएं। 150-200 से 300-600 शब्दों प्रति मिनट या 400 से 800-1200 शब्दों प्रति मिनट तक। पाठ्यक्रम गति के विकास के लिए पारंपरिक अभ्यास का उपयोग किया जाता है, मस्तिष्क को तेज करने वाली तकनीक, पढ़ने की गति में प्रगतिशील वृद्धि की विधि, चरणों का मनोविज्ञान और पाठ्यक्रम प्रतिभागी के प्रश्न काम कर रहे हैं। बच्चों और वयस्कों के लिए उपयुक्त, प्रति मिनट 5,000 शब्द तक पढ़ना।

5-10 साल के बच्चे से स्मृति और ध्यान का विकास

पाठ्यक्रम का लक्ष्य: बच्चे से स्मृति और ध्यान विकसित करने के लिए ताकि स्कूल में सीखना आसान हो सके ताकि इसे बेहतर याद किया जा सके।

पाठ्यक्रम पारित करने के बाद, बच्चा करने में सक्षम होगा:

1. 2-5 गुना बेहतर पाठ, चेहरे, संख्याओं, शब्दों को याद रखें
2. एक लंबी अवधि के लिए याद रखना सीखें
3. वांछित जानकारी की यादों की गति में वृद्धि होगी।

गहरे प्राचीन काल के साथ, संख्याओं के साथ काम दो अलग-अलग क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: एक व्यक्ति सीधे संख्याओं के गुणों से संबंधित है, दूसरा खाता तकनीक से जुड़ा हुआ था। कई देशों में "अंकगणितीय" के तहत, आमतौर पर यह ध्यान में है कि यह अंतिम क्षेत्र है, जो निस्संदेह गणित का सबसे पुराना उद्योग है।

जाहिर है, प्राचीन गणनाओं में सबसे बड़ी कठिनाई ने अंशों के साथ काम किया। इसका आकलन लगभग 1650 ईसा पूर्व से डेटिंग, गणित की प्राचीन मिस्र की संरचना, पापरस अखम्मेस (जिसे पापीरस रिंदा भी कहा जाता है) द्वारा किया जा सकता है। 2/3 के अपवाद के साथ, पपीरस में उल्लिखित सभी अंशों में संख्या 1 के बराबर अंक हैं। अंशों के संचलन की कठिनाई ध्यान देने योग्य है और प्राचीन-पहिया नैदानिक \u200b\u200bगोलियों का अध्ययन करते समय। और प्राचीन मिस्र के लोगों, और बेबीलोनियों ने जाहिर तौर पर, एबीएसीए की एक निश्चित विविधता के साथ गणना की। संख्याओं के विज्ञान को प्राचीन यूनानियों से लगभग 530 ईसा पूर्व से पाइथागोरा से पर्याप्त विकास प्राप्त हुआ। गणना की तकनीक के लिए सीधे, इस क्षेत्र में, यूनानियों को बहुत कम बनाया गया था।

बाद में बाद में, रोमियों ने व्यावहारिक रूप से संख्या के विज्ञान में कोई योगदान नहीं दिया, लेकिन तेजी से विकसित उत्पादन और व्यापार की जरूरतों के आधार पर, एबैकस को एक गणनीय डिवाइस के रूप में सुधार हुआ। भारतीय अंकगणित की उत्पत्ति के बारे में बहुत कम ज्ञात है। भारतीय पोजिशनिंग सिस्टम के बाद लिखित संख्याओं के साथ संचालन के सिद्धांत और अभ्यास के बारे में कुछ बाद में काम करता है, भारतीय पोजिशनिंग सिस्टम को शून्य में शामिल करके बढ़ाया गया है। जब यह वास्तव में हुआ, यह हमारे लिए काफी अज्ञात है, लेकिन तब यह था कि हमारे सबसे आम अंकगणितीय एल्गोरिदम के लिए नींव रखी गई थी।

भारतीय संख्या प्रणाली और पहले अंकगणितीय एल्गोरिदम अरबों द्वारा उधार लिया गया था। हमारे लिए वांछित अरब पाठ्यपुस्तकों में से सबसे शुरुआती अरब पाठ्यपुस्तकों को 825 के आसपास अल-खोरेज़मी द्वारा लिखा गया था। इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और भारतीय आंकड़ों द्वारा समझाया जाता है। बाद में, इस पाठ्यपुस्तक का अनुवाद लैटिन में किया गया था और पश्चिमी यूरोप पर एक महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा था। अल-कोरेज़मी के नाम से विकृत हम "एल्गोरिथस" शब्द में पहुंचे, जो कि ग्रीक शब्द के साथ आगे मिश्रण के साथ aritos। "एल्गोरिदम" शब्द में बदल गया।

इंडो-अरब अंकगणित पश्चिमी यूरोप में मुख्य रूप से एल। फिंबोनाचीची की संरचना के कारण जाना जाता है अब्बा बुक (लिबर अबासी।1202)। एबसी विधि ने और गुणा के लिए किसी भी मामले में, हमारी स्थिति प्रणाली के उपयोग के समान सरलीकृत किया। Abacists एल्गोरिदम बदल गए जो वर्ग रूट को विभाजित करने और निकालने के शून्य और अरबी विधि का उपयोग करते थे। पहली अंकगणित पाठ्यपुस्तकों में से एक, जिसके लेखक हम अज्ञात हैं, 1478 में ट्रेविसो (इटली) में बाहर आए। व्यापार लेनदेन करते समय यह गणना के बारे में था। यह पाठ्यपुस्तक बाद में कई अंकगणित पाठ्यपुस्तकों का पूर्ववर्ती बन गई है। 17 वी तक यूरोप में, तीन सौ से अधिक ऐसी पाठ्यपुस्तकों को प्रकाशित किया गया था। इस समय के दौरान अंकगणितीय एल्गोरिदम काफी सुधार हुए थे। 16-17 सदियों में। अंकगणितीय परिचालनों के प्रतीक हैं, जैसे \u003d, +, -, ґ, और।

अंकगणितीय गणना का मशीनीकरण।

समाज के विकास के साथ, तेजी से और सटीक गणना की आवश्यकता बढ़ी। यह चार अद्भुत आविष्कारों को जीने की आवश्यकता है: भारत-अरबी संख्यात्मक नोटेशन, दशमलव अंश, लॉगरिदम और आधुनिक कंप्यूटिंग मशीनें।

वास्तव में, प्राचीन अंकगणित की उपस्थिति से पहले सबसे सरल गणनीय उपकरण मौजूद थे, प्राचीन काल में, प्राथमिक अंकगणितीय परिचालन अबाकस (रूस में, इस उद्देश्य के लिए स्कोर का उपयोग किया गया था) पर किए गए थे। सबसे सरल आधुनिक कंप्यूटिंग डिवाइस को दो को किसी अन्य लॉगरिदमिक स्केल के साथ दो स्थानांतरित करने की एक लॉगरिदमिक रेखा माना जा सकता है, जो आपको गुणा और विभाजन का उत्पादन करने, स्केल के सेगमेंट को सारांशित और साफ करने की अनुमति देता है। पहली यांत्रिक संक्षेप मशीन का आविष्कारक बी पास्कल (1642) द्वारा माना जाता है। बाद में इंग्लैंड में जर्मनी और एस मोरलैंड (1673) में लिबनीट (1671) की एक ही शताब्दी में, मशीनों ने गुणा मशीनों का आविष्कार किया। ये मशीनें 20 वी के डेस्कटॉप कंप्यूटिंग डिवाइस (एआरआईएमएमओएमईटर) के पूर्ववर्तियों बन गई हैं, ने ऑपरेशन को त्वरित और सटीक रूप से संचालन, घटाने, गुणा और डिवीजनों का उत्पादन करने की अनुमति दी है।

1812 में, अंग्रेजी गणितज्ञ च। बैबेज ने गणितीय सारणी की गणना के लिए एक परियोजना बनाना शुरू कर दिया। हालांकि परियोजना पर काम कई सालों तक चला, हालांकि यह अधूरा रहा। फिर भी, बाबबाजा की परियोजना ने आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग मशीन बनाने के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया, जिनमें से पहला नमूने 1 9 44 के आसपास दिखाई दिए थे। इन मशीनों की गति कल्पना से मारा गया था: एक मिनट या घंटों के लिए उनकी मदद के साथ इसे हल करना संभव था पहले जैसे ही ARMIMOMETERS के उपयोग के साथ कई वर्षों की निरंतर कंप्यूटिंग की मांग की जाती है।

पूरी सकारात्मक संख्या।

रहने दो ए। तथा बी - दो परिमित सेट जिनके पास सामान्य तत्व नहीं हैं और चलो ए। शामिल एन तत्व, ए। बी शामिल म। तत्व। फिर सेट एससेट के सभी तत्वों से मिलकर ए। तथा बीएक साथ लिया गया एक सीमित सेट है, कहो, एस तत्व। उदाहरण के लिए, अगर लेकिन अ तत्वों के होते हैं ( ए।, बी, सी।), बहुत सारे में तत्वों से ( एक्स।, वाई), फिर सेट S \u003d a + b और तत्व होते हैं ( ए।, बी, सी।, एक्स।, वाई)। संख्या एस बुला हुआ योग नंबर एन तथा म।और हम इसे इस तरह लिखते हैं: s \u003d n + m। इस रिकॉर्ड संख्या में एन तथा म। बुला हुआ स्पीड, राशि खोजने का संचालन - इसके अलावा। ऑपरेशन का प्रतीक "+" "प्लस" के रूप में पढ़ा जाता है। बहुत से पीसभी आदेशित भाप से युक्त जिसमें पहला तत्व सेट से चुना गया है ए।, और दूसरा - सेट से बीएक सीमित सेट है, कहो, पी तत्व। उदाहरण के लिए, यदि, पहले की तरह, ए। = {ए।, बी, सी।}, बी = {एक्स।, वाई), टी। पी \u003d एґबी = {(ए।,एक्स।), (ए।,वाई), (बी,एक्स।), (बी,वाई), (सी।,एक्स।), (सी।,वाई))। संख्या पी बुला हुआ काम नंबर ए। तथा बीऔर हम इसे इस तरह लिखते हैं: पी \u003d एґबी या पी \u003d ACHB।। नंबर ए। तथा बी काम में कहा जाता है मल्टीप्लायरों, एक काम खोजने का संचालन - गुणा। ऑपरेशन का प्रतीक ґ "गुणा द्वारा" के रूप में पढ़ा जाता है।

यह दिखाया जा सकता है कि इन परिभाषाओं से अतिरिक्त के मौलिक कानूनों का पालन करें और पूर्णांक गुणा करना:

- अतिरिक्त के कम्यूट्यूएशन का कानून: ए + बी \u003d बी + ए;

- सहयोगी अतिरिक्त कानून: ए। + (बी + सी।) = (ए। + बी) + सी।;

- गुणा के कम्यूटेशन का कानून: ए।ґबी \u003d बी।ґए।;

- गुणा एसोसिएटिविटी कानून: ए।ґ(बीґसी।) = (ए।ґबी)ґसी।;

- वितरण का कानून: ए।ґ(बी + सी।)= (ए।ґबी) + (ए।ґसी।).

यदि एक ए। तथा बी - दो सकारात्मक पूर्णांक और यदि कोई सकारात्मक पूर्णांक है सी।, ऐसा है कि ए \u003d बी + सी, फिर हम कहते हैं कि ए। अधिक बी (यह इस प्रकार लिखा गया है: ए\u003e बी।), या क्या बी कम से ए। (यह इस प्रकार लिखा गया है: b)। किसी भी दो संख्या के लिए ए। तथा बी तीन अनुपातों में से एक किया जाता है: या तो ए \u003d बी।भी ए\u003e बी।भी ए।

पहले दो मौलिक कानूनों से पता चलता है कि दो या अधिक शर्तों का योग इस बात पर निर्भर नहीं है कि वे कैसे समूहबद्ध हैं और वे किस क्रम में स्थित हैं। इसी प्रकार, तीसरे और चौथे कानून से यह इस प्रकार है कि दो या दो से अधिक गुणक का काम इस बात पर निर्भर नहीं है कि गुणक को कैसे समूहीकृत किया जाता है और उनके आदेश को समूहीकृत किया जाता है। इन तथ्यों को "सामान्यीकृतता और सहयोगीता के सामान्यीकृत कानून" के अलावा और गुणा के रूप में जाना जाता है। यह इस प्रकार है कि कई कारकों के कई नियमों या कार्यों की मात्रा लिखते समय, नियमों और multistages की प्रक्रिया अप्रासंगिक है और आप ब्रैकेट को कम कर सकते हैं।

विशेष रूप से, पुनः योग ए + ए + ... + ए का एन शब्द समान हैं एनґए।। बार-बार काम ए।ґए।ґ ... ґए। का एन गुणक का मतलब माना जाता है एक एन।; संख्या ए। बुला हुआ आधार, और संख्या एन – बार-बार काम संकेतक, खुद को फिर से काम करें - एन-वें डिग्री नंबर ए।। ये परिभाषाएं आपको डिग्री संकेतकों के लिए निम्नलिखित मौलिक कानून स्थापित करने की अनुमति देती हैं:

परिभाषाओं का एक और महत्वपूर्ण परिणाम: ए।ґ1 = ए। किसी भी पूर्णांक के लिए ए।, इसके अलावा, 1 इस संपत्ति के साथ एकमात्र पूर्णांक है। नंबर 1 कहा जाता है इकाई.

पूर्णांक के डिवाइडर।

यदि एक ए।, बी, सी। - पूर्णांक और ए।ґबी \u003d सी।टी ए। तथा बी संख्या के विभाजक हैं सी।। जैसा ए।ґ1 = ए। किसी भी पूर्णांक के लिए ए।, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 1 किसी भी पूर्णांक का विभाजक है और किसी भी पूर्णांक में खुद का विभाजन होता है। कोई पूर्णांक विभाजक ए।1 के अलावा या ए।नाम प्राप्त किया स्वयं विभाजक नंबर ए।.

कोई भी पूर्णांक 1 से अलग है और इसका कोई खुद का डिवाइडर नहीं कहा जाता है साधारण संख्या। (एक साधारण संख्या का एक उदाहरण संख्या 7 है।) अपने स्वयं के डिवाइडर होने वाले एक पूर्णांक को बुलाया जाता है यौगिक संख्या। (उदाहरण के लिए, संख्या 6 समग्र है, क्योंकि 2 विभाजित है 6.) ने कहा कि यह इस प्रकार है कि सभी पूर्णांकों का सेट तीन वर्गों में विभाजित है: एक इकाई, सरल संख्या और घटक संख्या।

संख्याओं के सिद्धांत में एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय है, जो तर्क देता है कि "किसी भी पूर्णांक को प्राइम नंबरों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, और गुणक की प्रक्रिया की सटीकता के साथ, ऐसा प्रतिनिधित्व अद्वितीय है।" इस प्रमेय को "मुख्य अंकगणितीय प्रमेय" के रूप में जाना जाता है। यह दिखाता है कि सरल संख्या उन "ईंटों" की सेवा करती है, जिससे आप गुणा का उपयोग करके इकाई के अलावा सभी पूर्णांक बना सकते हैं।

यदि कई पूर्णांकों का एक सेट निर्दिष्ट किया गया है, तो इस सेट में आने वाले प्रत्येक नंबर का विभेदक सबसे बड़ा पूर्णांक कहा जाता है सबसे बड़ा आम विभाजक संख्याओं के इस सेट का; सबसे छोटा पूर्णांक, जिसका विभक्त इस सेट की हर संख्या परोसता है, को कहा जाता है सबसे छोटा आम पेंट संख्याओं का यह सेट। इस प्रकार, संख्या 12, 18 और 30 का सबसे बड़ा आम विभाजक 6 है। एक ही संख्या का सबसे छोटा कुल एकाधिक 180 है। यदि दो पूर्णांक का सबसे बड़ा आम विभाजक है ए। तथा बी 1 के बराबर, फिर ए। तथा बी बुला हुआ पारस्परिक रूप से सरल। उदाहरण के लिए, संख्या 8 और 9 पारस्परिक रूप से सरल हैं, हालांकि उनमें से कोई भी सरल नहीं है।

सकारात्मक तर्कसंगत संख्या।

जैसा कि हमने देखा है, पूर्णांक वस्तुओं के अंत सेट को पुन: स्थापित करने की प्रक्रिया से उत्पन्न अपमानजनक हैं। हालांकि, पूर्णांक के दैनिक जीवन की जरूरतें पर्याप्त नहीं हैं। उदाहरण के लिए, जब तालिका ढक्कन की लंबाई को मापते समय, माप की प्राप्त इकाई बहुत बड़ी हो सकती है और पूर्णांक मापा लंबाई में पूर्णांक होता है। तथाकथित की मदद से, इस तरह की कठिनाई से निपटने के लिए। आंशिक (यानी, सचमुच, "टूटी हुई") संख्याओं ने लंबाई की एक छोटी इकाई पेश की। यदि एक डी - कुछ पूर्णांक, फिर फ्रैक्शनल यूनिट 1 / डी संपत्ति द्वारा निर्धारित डीґ1/डी \u003d 1, और यदि एन - पूर्णांक, फिर एनґ1/डी हम जैसे लिखते हैं एन/डी। इस तरह के नए नंबरों को "साधारण" या "सरल" अंश कहा जाता था। पूर्णांक एन बुला हुआ मीटर अंश और संख्या डी – भाजक। डेनोमिनेटर दिखाता है कि एक इकाई द्वारा कितने समान अंशों को विभाजित किया गया था, और संख्या दिखाती है कि इस तरह के कितने अंश हुए। यदि एक एन डी, अंश को उचित कहा जाता है; अगर एन \u003d डी। या n\u003e डी।, फिर - गलत। पूर्णांक को 1 के बराबर एक denominator के साथ अंश माना जाता है; उदाहरण के लिए, 2 \u003d 2/1।

अंश के रूप में एन/डी विभाजन के परिणामस्वरूप व्याख्या की जा सकती है एन इकाइयों पर डी बराबर शेयर और इस तरह के एक अंश में से एक लेता है, अंश को दो पूर्णांक के "निजी" या "रवैये" के रूप में माना जा सकता है एन तथा डी, और नरक विभाजन के संकेत के रूप में समझने के लिए अंश है। इसलिए, फ्रैसी (अंशों के एक विशेष मामले के रूप में)। युक्तिसंगत संख्या (लेट से। अनुपात - रवैया)।

दो अंश एन/डी तथा ( क।ґएन)/(क।ґडी), कहां है क। - एक पूर्णांक को बराबर माना जा सकता है; उदाहरण के लिए, 4/6 \u003d 2/3। (यहाँ एन = 2, डी \u003d 3 I. क। 2 \u003d 2.) इस परिस्थिति को "अंश की मुख्य संपत्ति" के रूप में जाना जाता है: किसी भी अंश का मूल्य नहीं बदलेगा, यदि एक ही संख्या पर एफआरसीआई गुणक और संप्रदाय गुणा (या विभाजित) गुणा (या विभाजित)। यह इस प्रकार है कि किसी भी अंश को दो पारस्परिक रूप से सरल संख्याओं के दृष्टिकोण के रूप में लिखा जा सकता है।

अंश की उपरोक्त व्याख्या से भी दो भिन्नताओं के योग के रूप में निम्नानुसार है एन/डी तथा म।/डीएक ही denominator होने के बाद, अंश लिया जाना चाहिए ( एन + म।)/डी। अलग-अलग संप्रदायों के साथ भिन्नता जोड़ते समय, आपको पहले अंश की मुख्य संपत्ति का उपयोग करके, उसी (सामान्य) denominator के साथ समकक्ष अंशों में परिवर्तित करना होगा। उदाहरण के लिए, एन 1 /डी 1 = (एन 1 सी। डी 2)/(डी 1 सी। डी 2) I. एन 2 /डी 2 = (एन 2 सी। डी 1)/(डी 1 सी। डी 2), जहां से

अन्यथा करना संभव होगा और पहले सबसे छोटा आम एकाधिक खोजें, कहें, म।, संप्रदाय डी 1 I डी 2। फिर पूर्णांक हैं क। 1 I क। 2, इस तरह एम \u003d के। 1 सी। डी 1 \u003d के। 2 सी। डी 2, और हमें मिलता है:

इस विधि के साथ, संख्या म। आमतौर पर कहा जाता है सबसे छोटा आम संप्रदाय दो अंश। ये दो परिणाम भिन्नता की समानता निर्धारित करने के बराबर हैं।

दो अंशों का काम एन 1 /डी 1 I एन 2 /डी 2 को अंश के बराबर लिया जाता है ( एन 1 सी। एन 2)/(डी 1 सी। डी 2).

पूर्णांक के लिए ऊपर दिए गए आठ मौलिक कानून वैध हैं और इस घटना में ए।, बी, सी। मनमाने ढंग से सकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं को समझें। इसके अलावा, यदि दो सकारात्मक तर्कसंगत संख्या दी जाती है एन 1 /डी 1 I एन 2 /डी 2, फिर हम कहते हैं कि एन 1 /डी 1 > एन 2 /डी 2 तब और केवल कब एन 1 सी। डी 2 > एन 2 सी। डी 1 .

सकारात्मक वैध संख्या।

सीधी रेखाओं की लंबाई को मापने के लिए संख्याओं का उपयोग यह बताता है कि प्रत्यक्ष के दो डेटा सेगमेंट के लिए अब तथा सीडी कुछ खंड मौजूद होना चाहिए यूवीशायद बहुत छोटा, जिसे प्रत्येक खंड में एक बार एक पूर्णांक स्थगित किया जा सकता है अबतथा सीडी। यदि ऐसी आम लंबाई माप इकाई यूवी मौजूद है, फिर सेगमेंट अब तथा सीडी सभ्य कहा जाता है। प्राचीन काल में, पाइथागोरियन सीधे सीधी रेखाओं के असामान्य खंडों के अस्तित्व के बारे में जानते थे। क्लासिक उदाहरण वर्ग और इसके विकर्ण का पक्ष है। यदि आप लंबाई प्रति इकाई वर्ग का पक्ष लेते हैं, तो ऐसी कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जो इस वर्ग के विकर्ण का एक उपाय हो सकता है। आप इसे देख सकते हैं, विपरीत से बहस करते हुए। वास्तव में, मान लीजिए कि तर्कसंगत संख्या एन/डी एक उपाय विकर्ण है। लेकिन फिर कट 1 / डी इसे स्थगित करना संभव होगा एन एक बार विकर्ण पर और डी एक बार वर्ग के किनारे, इस तथ्य के विपरीत कि विकर्ण और वर्ग के पक्ष में असामान्य हैं। इसलिए, लंबाई की एक इकाई की पसंद के बावजूद, सीधी रेखाओं के सभी खंडों में तर्कसंगत संख्याओं द्वारा व्यक्त लंबाई नहीं है। ताकि सीधी रेखा के सभी वर्गों को लंबाई की कुछ इकाई का उपयोग करके मापा जा सके, संख्या प्रणाली को विस्तारित किया जाना चाहिए ताकि इसमें सीधी रेखाओं की लंबाई को मापने के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले संख्याएं शामिल हों, जो लंबाई की चयनित इकाई के साथ असामान्य है। इन नई संख्या को सकारात्मक कहा जाता है तर्कहीन संख्या। बाद में सकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं के साथ एक साथ संख्याओं का एक व्यापक सेट बनाते हैं, जिनके तत्व सकारात्मक कहते हैं वैध संख्या।

यदि एक या। - क्षैतिज अर्धचालक, बिंदु से बाहर जाना ओ, यू - पॉइंट पे या।निर्देशांक की शुरुआत के अलावा ओ, मैं। ओ। एक सेगमेंट के रूप में चुना गया, फिर प्रत्येक बिंदु पी अर्ध-बाईपास पर या। आप केवल सकारात्मक वैध संख्या के अनुपालन में डाल सकते हैं पीसेगमेंट की लंबाई व्यक्त करना ओपी।। इस प्रकार, हम सकारात्मक वैध संख्याओं और इसके अलावा अन्य बिंदुओं के बीच एक पारस्परिक रूप से अद्वितीय पत्राचार स्थापित करते हैं ओ, आधे स्थान पर या।। यदि एक पी तथा प्र - अंक के अनुरूप दो सकारात्मक वैध संख्या पी तथा प्र पर या।फिर हम लिखते हैं p\u003e Q., पी \u003d क्यू। या p इस बात पर निर्भर करता है कि कोई बिंदु है या नहीं पी बिंदु के दाईं ओर प्र पर या।, मेल खाता है प्र या बाईं ओर स्थित है प्र.

सकारात्मक तर्कहीन संख्याओं की शुरूआत ने अंकगणितीय प्रयोज्यता की सीपर्मिटी का विस्तार किया है। उदाहरण के लिए, अगर ए। - कोई सकारात्मक वैध और एन - कोई पूर्णांक, फिर एक सकारात्मक वैध संख्या है बी, ऐसा है कि b n \u003d a। यह संख्या है बी जड़ कहा जाता है एन- से डिग्री ए। और दर्ज की गई जहां इसकी रूपरेखा में प्रतीक लैटिन पत्र जैसा दिखता है आरजिससे लैटिन शब्द शुरू होता है रेडिक्स। (जड़) और बुलाया उग्र। आप यह दिखा सकते हैं

इन संबंधों को रेडिकल के मूल गुणों के रूप में जाना जाता है।

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी भी सकारात्मक अपरिमेय संख्या को सकारात्मक तर्कसंगत संख्या द्वारा वास्तव में सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। इसका मतलब है कि अगर आर - एक सकारात्मक तर्कहीन संख्या और इ। - मनमाने ढंग से छोटे सकारात्मक तर्कसंगत संख्या, तो आप सकारात्मक तर्कसंगत संख्याएं पा सकते हैं ए। तथा बीऐसा है कि एक I. बी उदाहरण के लिए, संख्या तर्कहीन है। यदि आप चुनते हैं इ। \u003d 0.01, फिर; यदि आप चुनते हैं इ। \u003d 0.001, फिर।

इंडो-अरबी संख्या प्रणाली।

एल्गोरिदम, या गणना योजनाएं, अंकगणित उपयोग की गई संख्या प्रणाली पर निर्भर करती है। यह स्पष्ट रूप से है, उदाहरण के लिए, गणना के तरीकों, रोमन संख्या प्रणाली के लिए आविष्कार किया गया है, वर्तमान भारत-अरब प्रणाली के लिए आविष्कार एल्गोरिदम से भिन्न हो सकता है। इसके अलावा, कुछ संख्या प्रणाली अंकगणितीय एल्गोरिदम बनाने के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त हो सकती है। ऐतिहासिक डेटा से पता चलता है कि संख्याओं के भारत-अरबी पदनाम को अपनाने से पहले, किसी भी एल्गोरिदम मौजूद नहीं थे, जिसने खुद को "पेंसिल और पेपर" की मदद से आसानी से अनुमति दी, घटाव, गुणा और संख्याओं के विभाजन का प्रदर्शन किया। लंबे समय तक, भारत-अरब प्रणाली का अस्तित्व विशेष रूप से उनके अनुकूल कई एल्गोरिदमिक प्रक्रियाओं के लिए विकसित किया गया था, इसलिए हमारे आधुनिक एल्गोरिदम विकास और सुधार के पूरे युग का एक उत्पाद हैं।

भारत-अरबी संख्या प्रणाली में, प्रत्येक प्रविष्टि denoting संख्या दस बुनियादी पात्रों 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, नामक संख्याओं का एक सेट है। उदाहरण के लिए, चार सौ बीस तीन की संख्या के इंडो-अरबी पदनाम में संख्या 423 के अनुक्रम का रूप है। संख्या के भारत-अरबी रिकॉर्ड में संख्याओं की संख्या इसकी जगह, या स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है इस प्रविष्टि को बनाने वाली संख्याओं का क्रम। नीचे दिए गए आंकड़े में, चित्रा 4 का मतलब चार सौ, अंक 2 - दो दर्जन और अंक 3 - तीन इकाइयां। खाली पदों को भरने के लिए उपयोग की जाने वाली आकृति 0 (शून्य) द्वारा एक बहुत ही महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है; उदाहरण के लिए, रिकॉर्डिंग 403 का मतलब चार सौ तीन की संख्या है, यानी कोई दर्जन नहीं हैं। यदि एक ए।, बी, सी।, डी, इ। मतलब व्यक्तिगत संख्या, फिर भारत-अरब प्रणाली में abcde। मतलब एक पूर्णांक संक्षेप में

चूंकि प्रत्येक पूर्णांक के रूप में एक प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है

कहा पे एन - पूर्णांक, और ए। 0 , ए। 1 ,..., एक एन। - संख्या, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि इस संख्या प्रणाली में प्रत्येक पूर्णांक एक ही तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है।

इंडो-अरबी नंबर सिस्टम आपको न केवल पूर्णांक के रूप में संपीड़ित करने की अनुमति देता है, बल्कि किसी भी सकारात्मक वैध संख्या भी। हम पदनाम 10 परिचय देते हैं - एन 1/10 के लिए एनकहां है एन - एक मनमाना सकारात्मक पूर्णांक। फिर आप कैसे दिखा सकते हैं, कोई सकारात्मक वैध संख्या ज्ञात है, और एकमात्र तरीका, के रूप में

इस प्रविष्टि को संख्याओं के अनुक्रम के रूप में लिखकर निचोड़ा जा सकता है

संकेत को दशमलव बिंदु कहा जाता है ए। 0 I. बी 1 इंगित करता है कि संख्या 10 की नकारात्मक डिग्री कहां शुरू होती है (कुछ देशों में इस उद्देश्य के लिए एक बिंदु का उपयोग किया जाता है)। सकारात्मक वास्तविक संख्या को रिकॉर्ड करने की इस विधि को दशमलव अपघटन कहा जाता था, और इसके दशमलव अपघटन के रूप में प्रस्तुत अंश होता है दशमलव.

यह दिखाया जा सकता है कि एक सकारात्मक तर्कसंगत संख्या के लिए, अल्पविराम के बाद दशमलव अपघटन या तो टूटा हुआ है (उदाहरण के लिए, 7/4 \u003d 1.75), या दोहराया जाता है (उदाहरण के लिए, 6577/1980 \u003d 3,32171717 ...)। यदि संख्या तर्कहीन रूप से है, तो इसका दशमलव अपघटन विफल नहीं होता है और इसे दोहराया नहीं जाता है। यदि अल्पविराम तोड़ने के बाद कुछ संकेतों पर तर्कहीन संख्या का दशमलव अपघटन, तो हमें इसके तर्कसंगत अनुमान मिलेगा। कॉमा के दाईं ओर से आगे स्थित है जिस पर हम दशमलव अपघटन को तोड़ते हैं, बेहतर तर्कसंगत अनुमान (कम त्रुटि)।

इंडो-अरबी प्रणाली में, संख्या दस बुनियादी अंकों का उपयोग करके दर्ज की गई है, जिसका मूल्य संख्याओं की संख्या में उनके स्थान, या स्थिति पर निर्भर करता है (संख्याओं की संख्या कुछ डिग्री के लिए संख्या के बराबर है संख्या 10)। इसलिए, इस तरह के एक प्रणाली को दशमलव स्थिति प्रणाली कहा जाता है। पोजिशनल नंबरिंग सिस्टम अंकगणितीय एल्गोरिदम बनाने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, और यह आधुनिक दुनिया में इंडो-अरबी संख्या प्रणाली का व्यापक वितरण है, हालांकि विभिन्न देशों में अलग-अलग पात्रों को अलग-अलग संख्याओं को नामित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

नाम संख्या।

इंडो-अरबी प्रणाली में संख्याओं के नाम विशिष्ट नियमों पर आधारित हैं। संख्याओं के नामों का सबसे आम तरीका यह है कि संख्या मुख्य रूप से दाईं ओर तीन अंकों के समूहों में विभाजित होती है। इन समूहों को "अवधि" कहा जाता है। पहली अवधि को "इकाइयों" की अवधि कहा जाता है, दूसरा - "हजार" अवधि, तीसरी - "लाखों", आदि की अवधि, जैसा कि निम्न उदाहरण में दिखाया गया है:

प्रत्येक अवधि को पढ़ा जाता है जैसे कि यह तीन अंकों की संख्या थी। उदाहरण के लिए, 962 की अवधि "नौ सौ साठ-दो" के रूप में पढ़ी जाती है। कई अवधि से युक्त संख्या को पढ़ने के लिए, प्रत्येक अवधि में संख्याओं का एक समूह, बाएं बाएं से शुरू होता है और फिर बाएं से दाएं क्रम में; प्रत्येक समूह के बाद, अवधि का नाम का पालन किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त संख्या "सत्तर-तीन ट्रिलियन आठ सौ चालीस अरब नौ सौ साठ-दो मिलियन पांच सौ तीस हजार सात सौ निन्यानवे नब्बे आठ" के रूप में पढ़ी जाती है। ध्यान दें कि पूर्णांक पढ़ने और रिकॉर्ड किए जाने पर, संघ "और" आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है। इकाइयों के निर्वहन का नाम कम हो गया है। Quadrillion, quintillion, sextillion, septillions, octallones, nonallions, decillions के बाद ट्रिलियन। प्रत्येक अवधि में एक मूल्य है, पिछले एक की तुलना में 1000 गुना बड़ा है।

भारत-अरबी प्रणाली में, दशमलव अर्धविराम के अधिकार के लिए निम्नलिखित पढ़ने की प्रक्रिया का पालन करने के लिए यह परंपरागत है। यहां, पदों को (बाएं से दाएं क्रम में) कहा जाता है: "दसवां", "सौवें", "हजारों", "दस हजार" इत्यादि। सही दशमलव अंश को पढ़ा जाता है जैसे कि दशमलव बिंदु के बाद संख्याएं एक पूर्णांक बनती हैं, जिसके बाद अंतिम अंक की स्थिति का नाम जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, 0.752 को "सात सौ पचास-दो हज़ारवां" के रूप में पढ़ा जाता है। मिश्रित दशमलव संख्या सही दशमलव अंशों के नियम के साथ पूर्णांक के नाम के लिए नियमों को जोड़कर पढ़ी जाती है। उदाहरण के लिए, 632,752 को "छह सौ पैंतीस पूरे सात सौ पचास हजार हजार" के रूप में पढ़ा जाता है। दशमलव बिंदु के सामने उच्चारण "पूरे" शब्द पर ध्यान दें। हाल के वर्षों में, दशमलव संख्याएं तेजी से अधिक पढ़ रही हैं, उदाहरण के लिए, 3.782 "तीन अल्पविराम सात सौ अस्सी-दो" के रूप में।

अतिरिक्त।

अब हम मूल विद्यालय में परिचय अंकगणितीय एल्गोरिदम का विश्लेषण करने के लिए तैयार हैं। ये एल्गोरिदम दशमलव विस्तार के रूप में दर्ज सकारात्मक वैध संख्याओं पर कार्यों से संबंधित हैं। हम मानते हैं कि अतिरिक्त की प्राथमिक सारणी और दिल से सीखा।

अतिरिक्त के कार्य पर विचार करें: 279.8 + 5,632 + 27.54 की गणना करें:

सबसे पहले हम संख्या 10 की एक ही राशि का सारांश देते हैं। 1 9 एच 10 -1 की संख्या 9 एच 10 -1 और 10h10 -1 \u003d 1 द्वारा वितरण कानून द्वारा विभाजित है। हम बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और 21 में जोड़ते हैं, जो 22. बदले में देता है। , संख्या 22 हम 2 और 20 \u003d 2h10 पर विभाजित हैं। संख्या 2H10 को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है और 9h10 में जोड़ें, जो 11h10 देता है। अंत में, 11h10 हम 1ch10 और 10h10 \u003d 1ch10 2, 1ch10 2 को बाईं ओर स्थानांतरित करने के लिए विभाजित करते हैं और 2h10 2 में जोड़ते हैं, जो 3H10 2 देता है। अंतिम राशि 312.9 72 के बराबर हो जाती है।

यह स्पष्ट है कि सटीक गणनाओं को एक और संपीड़ित रूप में दर्शाया जा सकता है, साथ ही साथ इसका उपयोग एल्गोरिदम के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है, जिसे स्कूल में पढ़ाया जाता है। इसके लिए, सभी तीन संख्याएं हम एक के तहत एक को निर्धारित करते हैं ताकि दशमलव अल्पविराम एक ऊर्ध्वाधर पर हो:

दाईं ओर, हम पाते हैं कि 10 -3 पर गुणांक का योग 2 है, जो लाइन के नीचे इसी कॉलम में दर्ज किया गया है। 10 -2 पर गुणांक का योग 7 है, जो लाइन के नीचे इसी कॉलम में भी लिखा गया है। 10 -1 पर गुणांक का योग 1 9 है। संख्या 9 हम लाइन के नीचे दर्ज किए गए हैं, और 1 को पिछले कॉलम में स्थानांतरित कर दिया गया है, जहां इकाइयां मूल्यवान हैं। इस इकाई को ध्यान में रखते हुए, इस कॉलम में गुणांक की मात्रा 22 के बराबर हो जाती है। हम लाइन के नीचे दो बार लिखते हैं, और दूसरा पिछले कॉलम में स्थानांतरित किया जाता है जहां दसियों के लायक होते हैं। स्थानांतरित किए गए जुड़वाओं को ध्यान में रखते हुए, इस कॉलम में गुणांक की राशि 11 है। एक इकाई जिसे हम लाइन के नीचे रिकॉर्ड करते हैं, और दूसरा पिछले कॉलम में स्थानांतरित हो जाता है, जहां सैकड़ों इसके लायक होते हैं। इस कॉलम में गुणांक का योग 3 हो जाता है, जो लाइन के नीचे दर्ज किया जाता है। आवश्यक राशि 312.9 72 के बराबर है।

घटाव

घटाव एक क्रिया है, रिवर्स अतिरिक्त। यदि तीन सकारात्मक वैध संख्या ए।, बी, सी।एक दूसरे के साथ जुड़ा हुआ है ए + बी \u003d सीफिर हम लिखते हैं ए \u003d सी - बीजहां प्रतीक "-" "माइनस" के रूप में पढ़ा जाता है। एक संख्या ढूँढना ए। प्रसिद्ध संख्या के अनुसार बी तथा सी। जिसे "घटाव" कहा जाता है। संख्या सी।जिसे कम, संख्या कहा जाता है बी - "घटाया गया", और संख्या ए। - "अंतर"। चूंकि हम सकारात्मक वैध संख्याओं से निपट रहे हैं, इसलिए एक शर्त की जानी चाहिए। सी\u003e बी।.

घटाव के लिए एक उदाहरण पर विचार करें: 453.87 - 82.9 4 की गणना करें।

सबसे पहले, बाईं ओर एक इकाई की आवश्यकता के मामले में उधार, हम कम के अपघटन को बदलते हैं ताकि संख्या 10 की किसी भी सीमा के साथ इसका गुणांक उसी हद तक गुणांक घटकों से बड़ा था। 4 एच 10 2 से हम 1CH10 2 \u003d 10h10 उधार लेते हैं, जो विघटन के अगले सदस्य को अंतिम संख्या जोड़ते हैं, जो 15h10 देता है; इसी तरह, हम 1 सी 10 0, या 10h10 -1 उधार लेते हैं, और इस संख्या को अपघटन के अंतिम सदस्य को जोड़ते हैं। उसके बाद, हमें गुणांक को संख्या 10 की एक ही डिग्री पर घटाए जाने का अवसर मिलता है और आसानी से 370.9 3 अंतर मिल जाता है।

रिकॉर्डिंग घटाव संचालन को एक अधिक संपीड़ित रूप में दर्शाया जा सकता है और स्कूल में अध्ययन किए गए घटाव एल्गोरिदम का एक उदाहरण प्राप्त किया जा सकता है। हम कम हो गए हैं ताकि उनका दशमलव अल्पविराम एक ऊर्ध्वाधर हो। दाईं ओर, हम पाते हैं कि 10 -2 पर गुणांक का अंतर 3 है, और यह वह संख्या है जिसे हम लाइन के नीचे एक ही कॉलम में लिखते हैं। चूंकि हम अगले आधा कॉलम में 8 में से 9 में से 8 को घटा नहीं सकते हैं, इसलिए हम शीर्ष तीन को दो में कमी की इकाइयों की स्थिति में बदलते हैं और 18 के रूप में दसवीं की स्थिति में संख्या 8 पर विचार करते हैं। 18 में से 9 घटाने के बाद, हम 9, आदि प्राप्त करें, यानी।

गुणा।

पहले तथाकथित पर विचार करें। "लघु" गुणा एक असभ्य संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, उदाहरण के लिए, 32,67ґ4 में से एक पर सकारात्मक वास्तविक संख्या का गुणा है। वितरण के कानून का उपयोग, साथ ही समरूपता के सहयोगी और मात्रा के नियमों का उपयोग करके, हमें भाग पर गुणक तोड़ने का अवसर मिलता है और उन्हें अधिक आसानी से मिलते हैं। उदाहरण के लिए,

इन गणनाओं को निम्नानुसार अधिक कॉम्पैक्ट दर्ज किया जा सकता है:

संपीड़न प्रक्रिया जारी रखी जा सकती है। जैसा कि संकेत दिया गया है, हम बहु 32.67 के तहत गुणक 4 लिखते हैं:

4ґ7 \u003d 28 के बाद से, हम चित्रा 8 की रेखा के नीचे लिखते हैं, और 2 6 एकाधिक की संख्या पर रखे जाते हैं। इसके अलावा, 4ґ6 \u003d 24, कि, कॉलम से स्थानांतरित को ध्यान में रखते हुए, यह 26 देता है। संख्या 6 हम लाइन के नीचे दर्ज किए गए हैं, और 2 गुणक के नंबर 2 पर लिखते हैं। फिर हम 4ґ2 \u003d 8 प्राप्त करते हैं, जो हस्तांतरित ट्वीट के साथ संयोजन में 10 देता है 10. चित्र 0 हम लाइन के नीचे सदस्यता लेते हैं, और इकाई 3 की अंक संख्या से ऊपर है। अंत में, 4ґ3 \u003d 12, जो स्थानांतरित इकाई को ध्यान में रखते हुए, 13 देता है; संख्या 13 सुविधा के नीचे लिखा गया है। दशमलव अल्पविराम लगाने के बाद, हमें जवाब मिलता है: काम 130.68 के बराबर है।

"लंबा" गुणा बस बार-बार "लघु" गुणा दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 72.4 से संख्या 32.67 की गुणा पर विचार करें। गुणा के तहत गुणक को गुणा करें, जैसा कि संकेत दिया गया है:

दाएं बाएं लघु गुणा उत्पन्न करके, हमें पहला निजी कार्य 13.068, दूसरा - 65.34 और तीसरा - 2286.9 मिलता है। वितरण अधिनियम के अनुसार, जो काम खोजने के लिए आवश्यक है वह इन निजी कार्यों का योग है, या 2365,308 है। एक लिखित रिकॉर्ड में, निजी कार्यों में दशमलव अल्पविराम उतर गया है, लेकिन उन्हें "चरण" को तब तक सीमित करने और पूरा काम करने की आवश्यकता है। कार्य में दशमलव बिंदु के बाद संकेतों की संख्या गुणक और गुणक में अल्पविराम के बाद संकेतों की संख्या के बराबर है।

विभाजन।

डिवीजन - ऑपरेशन, रिवर्स गुणा; इसी प्रकार, गुणा बार-बार दोहराए गए अतिरिक्त की जगह लेता है, विभाजन बार-बार दोहराए गए घटाव की जगह लेता है। विचार करें, उदाहरण के लिए, इस तरह का एक प्रश्न: 14 में कितनी बार 3 निहित है? घटकर घटाव ऑपरेशन 14 में से 3, हम पाते हैं कि 3 "प्रवेश करता है" 14 बार, और "बनी हुई" संख्या 2, यानी।

नंबर 14 कहा जाता है भाज्य, संख्या 3 - विभक्त, चार नंबर - निजी और संख्या 2 - अवशेष। शब्दों के साथ, परिणामी अनुपात इस तरह व्यक्त किया जा सकता है:

विभाज्य \u003d (विभक्त ґ निजी) + अवशेष,

0 ј अवशेष

एकाधिक घटाव 3 का उपयोग करके 1400 द्वारा 1400 को विभाजित करने से निजी और अवशेष खोजने के लिए, बहुत समय और श्रम खर्च करना आवश्यक होगा। प्रक्रिया में काफी तेज हो सकता है, यदि आप पहली बार 1,400 से 300 तक कटौती करते हैं, तो 30 के अवशेष से और अंत में, 300 के चार गुना घटाव के बाद, हमें अवशेष 200 मिल जाएगा; 200 9 की 200 संख्या से छह बार घटाव के बाद, अवशेष 20 के बराबर होगा; अंत में, 20 वें दिन 3 से छह बार घटाव के बाद, हम शेष 2 प्राप्त करेंगे। नतीजतन,

निजी और अवशेष जो क्रमशः, बराबर, 466 और 2 खोजने के लिए आवश्यक है, गणना आयोजित की जा सकती है और फिर अनुक्रमिक रूप से संपीड़न के अधीन निम्नानुसार है:

उपर्युक्त तर्क लागू होते हैं यदि विभाजित और विभाजक - दशमलव प्रणाली में व्यक्त किए गए किसी भी सकारात्मक वैध संख्या। हम उदाहरण के लिए 817.65ё23.7 को चित्रित करते हैं।

सबसे पहले, दशमलव बिंदु वाले शिफ्ट के साथ विभाजक को पूर्णांक में बदल दिया जाना चाहिए। साथ ही, दशमलव अल्पविराम विभाजन दशमलव संकेतों की संख्या पर बदलाव करता है। विभाजक और विभाज्य स्थित हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

हम परिभाषित करते हैं कि विभाजक 817 की तीन अंकों की संख्या में कितनी बार निहित है, विभाजन का पहला भाग, जिसे हम विभाजक पर विभाजित करते हैं। चूंकि यह तीन बार निहित होने का अनुमान है, हम 817 से बाहर निकलकर 237 से 3 और काम 711 गुणा करते हैं। अंतर विभाजक से 106 कम है। इसका मतलब है कि संख्या 237 परीक्षण में प्रवेश योग्य नहीं है, जो तीन गुना से अधिक नहीं है। चित्रा 3, क्षैतिज विशेषता के नीचे 2 divisors की संख्या के तहत लिखित, उस निजी का पहला अंक है जिसे आप ढूंढना चाहते हैं। निम्नलिखित विभाजन आंकड़े नीचे लाने के बाद, निम्नलिखित परीक्षण लाभप्रद 1066 प्राप्त किया जाएगा, और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि विभाजक 237 1066 के बीच कितनी बार ढेर हो गया है; मान लीजिए कि 4 बार। हम 4 पर एक विभाजक गुणा करते हैं और हमें 948 का टुकड़ा मिलता है, जिसे हम 1066 से बाहर कर देते हैं; अंतर 118 हो जाता है, जिसका अर्थ है कि निजी की अगली संख्या 4 के बराबर है। फिर हम निम्नलिखित दिवास्व्यात्मक संख्या को ध्वस्त करते हैं और ऊपर वर्णित संपूर्ण प्रक्रिया को दोहराते हैं। इस बार यह पता चला है कि परीक्षण विभाज्य 1185 बिल्कुल (एक अवशेष के बिना) को 237 में विभाजित किया गया है (विभाजन का शेष अंततः 0 के बराबर है)। एक निजी में दशमलव बिंदु को अलग करने के रूप में कई संकेतों को अलग करना (हमें याद है कि पहले हमने एक दशमलव अल्पविराम को स्थानांतरित कर दिया था), हमें जवाब मिलेगा: निजी 34.5 है।

अंश।

अंशों के साथ गणना में जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन, साथ ही जटिल अंशों का सरलीकरण भी शामिल है।

उदाहरण के लिए, एक ही denominator के साथ अंशों के अतिरिक्त अंकों को जोड़कर बनाया जाता है,

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

यदि अंशों में अलग-अलग decominators होते हैं, तो उन्हें एक सामान्य denominator के लिए नेतृत्व करने के लिए पूर्व आवश्यक होना चाहिए, यानी उसी denominators के साथ अंशों में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हमें सबसे छोटा आम denominator (सबसे छोटी संख्या, इनमें से प्रत्येक denominators) पाते हैं। उदाहरण के लिए, 2/3, 1/6 और 3/5 जोड़ने पर, सबसे छोटा आम denominator 30 है:

संक्षेप में, प्राप्त करें

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

अंशों का घटाव उसी तरह से किया जाता है जैसे उनके अतिरिक्त। यदि denominators समान हैं, तो संख्याओं को घटाने के लिए घटाव कम हो गया है: 10/13 - 2/13 \u003d 8/13; यदि अंशों में अलग-अलग denominators हैं, तो उन्हें एक सामान्य denominator में लाने के लिए पहले आवश्यक है:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

भिन्नताओं को गुणा करते समय, उनके अंक और संप्रदायों को अलग से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

एक अंश को दूसरे में विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश (विभाजन) को अंश, उलटा दूसरे (विभक्त) को गुणा करने की आवश्यकता है (एक बैक शॉट प्राप्त करने के लिए, आपको मूल अंश के संख्यात्मक और denominator को बदलने की आवश्यकता है), यानी ( एन 1 /डी 1) ई ( एन 2 /डी 2) = (एन 1 सी। डी 2)/(डी 1 सी। एन 2)। उदाहरण के लिए,

3/47 / 8 \u003d 3 / 4ґ8 / 7 \u003d 24/28 \u003d 6/7।

मिश्रित संख्या एक पूर्णांक और अंश का एक राशि (या अंतर) है, उदाहरण के लिए, 4 + 2/3 या 10 - 1/8। चूंकि एक पूर्णांक को एक denominator के साथ एक अंश के रूप में माना जा सकता है, 1 के बराबर, एक मिश्रित संख्या दो भिन्नताओं की राशि (या अंतर) से अधिक कुछ नहीं है। उदाहरण के लिए,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

अंश जटिल है, जिसमें एक संख्या में एक अंश, या एक संप्रदाय में, या एक संख्यात्मक और संप्रदाय में होता है। इस तरह के एक अंश को सरल में बदल दिया जा सकता है:

वर्गमूल।

यदि एक एन आर, ऐसा है कि आर 2 = एन। संख्या आर बुला हुआ वर्गमूल का एन और दर्शाया गया है। स्कूल स्क्वायर जड़ों को दो तरीकों से निकालने के लिए सीखते हैं।

पहली विधि अधिक लोकप्रिय है क्योंकि इसे लागू करना आसान और आसान है; इस विधि पर गणना आसानी से डेस्कटॉप कैलकुलेटर पर लागू की जाती है और उच्च डिग्री की घन जड़ों और जड़ों के मामले में संक्षेप में सारांशित की जाती है। इस तथ्य पर आधारित विधि कि अगर आर 1 - रूट के लिए दृष्टिकोण, फिर आर 2 = (1/2)(आर 1 + एन/आर 1) - रूट के अधिक सटीक अनुमान।

हम 1 से 100 के बीच संपन्न कुछ संख्या से वर्ग रूट की गणना के उदाहरण पर प्रक्रिया को स्पष्ट करते हैं, कहें, संख्या 40. 6 2 \u003d 36 के बाद से, 7 2 \u003d 4 9, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 पूर्णांक में सबसे अच्छा अनुमान है । K के एक और सटीक अनुमान 6 से 6 से प्राप्त किया जाता है। 40 से 6 को विभाजित करना, हम 6.6 प्राप्त करते हैं (अल्पविराम के बाद पहली बार राउंडिंग के साथ) यहाँ तक की दसवीं की संख्या)। एक दूसरे अनुमान प्राप्त करने के लिए, दो संख्या 6 और 6.6 औसत और हमें 6.3 मिलते हैं। प्रक्रिया को दोहराते हुए, हम भी बेहतर अनुमान प्राप्त करते हैं। 6.3 से 40 को विभाजित करने के लिए, हमें संख्या 6,350 मिलती है, और तीसरा अनुमान (1/2) (6.3 + 6,350) \u003d 6,325 के बराबर हो जाता है। एक और पुनरावृत्ति 40ё6,325 \u003d 6,3241106 देती है, और चौथा सन्निकटन (1/2) (6,325 + 6,3241106) के बराबर हो जाता है \u003d 6,3245553। प्रक्रिया लंबे समय तक मनमाने ढंग से जारी रह सकती है। आम तौर पर, प्रत्येक अगले सन्निकटन में पिछले एक की तुलना में संख्याओं में दो बार हो सकता है। इसलिए, हमारे उदाहरण में, पहले अनुमान के बाद, एक पूर्णांक 6 में केवल एक अंक होता है, हम दूसरे अनुमान में दो संकेत रख सकते हैं, तीसरे चार में और चौथे - आठ में।

अगर संख्या एन 1 और 100 के बीच झूठ नहीं बोलता, तो यह पूर्व-विभाजित होना चाहिए (या गुणा) एन 100 की संख्या 100 पर, मान लीजिए क।"यह काम 1 से 100 तक की सीमा में हुआ था। फिर काम से वर्ग रूट 1 से 10 तक की सीमा में होगा, और इसे निकालने के बाद, हम परिणामी संख्या को गुणा (या अलग) करते हैं 10 क।हम वांछित वर्ग रूट पाएंगे। उदाहरण के लिए, अगर एन \u003d 400000, फिर हम पहले delim। 400000 प्रति 100 2 और हम 1 से 100 तक की संख्या 40 झूठ बोलते हैं। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, लगभग 6,3245553। गुणा यह 10 2 है, हम 632,45553 के लिए अनुमानित मूल्य के रूप में प्राप्त करते हैं, और संख्या 0.63245553 के लिए अनुमानित मूल्य के रूप में कार्य करता है।

ऊपर वर्णित दूसरी प्रक्रियाएं बीजगणितीय पहचान पर आधारित है ( ए। + बी) 2 = ए। 2 + (2ए। + बी)बी। प्रत्येक चरण में, वर्ग रूट का परिणामी हिस्सा के लिए स्वीकार किया जाता है ए।और वह हिस्सा जो अभी भी निर्धारित करने की आवश्यकता है - के लिए बी.

घन रूट।

सकारात्मक वास्तविक संख्या से घन रूट निकालने के लिए, वर्गमूल को निकालने के लिए एल्गोरिदम के समान एल्गोरिदम होते हैं। उदाहरण के लिए, एक घन रूट खोजने के लिए एन, सबसे पहले हम कुछ संख्या की जड़ का अनुमान लगाते हैं आर एक । फिर हम एक अधिक सटीक सन्निकटन का निर्माण करते हैं आर 2 = (1/3)(2आर 1 + एन/आर 1 2), जो बदले में एक और अधिक सटीक दृष्टिकोण से कम है आर 3 = (1/3)(2आर 2 + एन/आर 2 2), आदि रूट के तेजी से सटीक अनुमानों का निर्माण करने की प्रक्रिया लंबे समय तक मनमाने ढंग से जारी रह सकती है।

विचार करें, उदाहरण के लिए, 1 से 1000 के बीच समाप्त होने वाले घन रूट की गणना, संख्या 200 के बीच समाप्त हो गई है। 5 3 \u003d 125 और 6 3 \u003d 216 के बाद से, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 घन रूट के लिए पूरी संख्या है। इसलिए, चुनें आर 1 \u003d 6 और लगातार गणना आर 2 = 5,9, आर 3 = 5,85, आर 4 \u003d 5,8480। प्रत्येक अनुमान में, तीसरे से शुरू होने पर, पिछले अनुमानों में वर्णों की एक डबल संख्या से कम प्रति इकाई के संकेतों की संख्या रखने की अनुमति है। यदि संख्या जिसमें से घन रूट की आवश्यकता होती है, 1 और 1000 के बीच निष्कर्ष निकाला नहीं जाता है, तो इसे विभाजित किया जाना चाहिए (या गुणा) कुछ, कहें, क।"संख्या की डिग्री 1000 है और इस प्रकार संख्याओं के वांछित अंतराल की ओर ले जाती है। नव प्राप्त संख्या की घन रूट 1 से 10 तक की सीमा में निहित है। इसकी गणना के बाद, इसे गुणा (या विभाजित) को 10 तक होना चाहिए क।स्रोत संख्या से घन रूट प्राप्त करने के लिए।

सकारात्मक वास्तविक संख्या से घन रूट खोजने के लिए दूसरा, अधिक जटिल, एल्गोरिदम बीजगणितीय पहचान के उपयोग पर आधारित है ( ए। + बी) 3 = ए। 3 + (3ए। 2 + 3अब + बी 2)बी। वर्तमान में, घन जड़ों को निकालने के साथ-साथ उच्च डिग्री की जड़ों को निकालने के लिए एल्गोरिदम उच्च विद्यालय में अध्ययन नहीं किए जाते हैं, क्योंकि वे लॉगरिफ्ट या बीजगणितीय तरीकों की मदद से आसान हैं।

एल्गोरिथम यूक्लिडा।

इस एल्गोरिदम को अंदर रखा गया था शुरू यूक्लिडा (लगभग 300 ईसा पूर्व)। इसके साथ, यह दो पूर्णांक के सबसे बड़े आम विभाजक की गणना की जाती है। सकारात्मक संख्याओं के मामले के लिए, यह एक प्रक्रियात्मक नियम के रूप में तैयार किया गया है: "दो संख्याओं को छोटे से विभाजित करें। फिर विभाजक को विभाजन से संतुलन में विभाजित करें और कार्य करना जारी रखें और साथ ही अंतिम विभाजक को अंतिम अवशेष से विभाजित नहीं किया जाएगा। अंतिम दिमुखी दो डेटा संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभक्त होगा। "

एक संख्यात्मक उदाहरण के रूप में, हम दो पूर्णांक 3132 और 7200 पर विचार करते हैं। इस मामले में एल्गोरिदम निम्न कार्यों में कम हो गया है:

सबसे बड़ा आम विभाजक अंतिम विभाजक के साथ मेल खाता है - संख्या 36. स्पष्टीकरण सरल है। हमारे उदाहरण में, हम आखिरी पंक्ति से देखते हैं कि संख्या 36 संख्या 288 को विभाजित करती है। अंतिम पंक्ति से यह इस प्रकार है कि संख्या 36 324 को विभाजित करती है। इसलिए, स्ट्रिंग से लाइन तक पहुंचने के लिए, हम आश्वस्त हैं कि संख्या 36 936, 3132 और 7200 को विभाजित करता है। अब हम तर्क देते हैं कि संख्या 36 संख्या 3132 और 7200 का एक सामान्य विभक्त है। चलो जी - संख्या 3132 और 7200 का सबसे बड़ा आम विभक्त। चूंकि जी 3132 और 7200 को विभाजित करता है, पहली पंक्ति से यह निम्नानुसार है जी 936 को विभाजित करता है। दूसरी पंक्ति से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं जी 324 को विभाजित करता है। इसलिए, स्ट्रिंग से लाइन तक उतरता है, हम आश्वस्त हैं कि जी 288 और 36 को विभाजित करता है। और 36 संख्या में 3132 और 7200 का एक आम विभक्त है और इसे सबसे बड़े आम विभाजक में बांटा गया है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 36 यह सबसे बड़ा आम विभाजक है।

चेक।

अंकगणितीय गणनाओं को निरंतर ध्यान देने की आवश्यकता होती है और इसलिए, त्रुटियों से भरा हुआ है। इसलिए, गणना के परिणामों की जांच करना बहुत महत्वपूर्ण है।

1. संख्या कॉलम के जोड़ को कॉलम में पहले से नीचे तक, और फिर नीचे से नंबरों को फोल्ड करके चेक किया जा सकता है। सत्यापन और एसोसिएटिविटी के सामान्यीकृत कानून को सत्यापन की इस विधि की पुष्टि के रूप में कार्य किया जाता है।

2. घटाने के साथ अंतर जोड़कर घटाव की जांच की जाती है - इसे कम किया जाना चाहिए। सत्यापन की इस विधि के लिए तर्क कटौती ऑपरेशन निर्धारित करना है।

3. गुणा और गुणक को संचालित करके गुणा की जांच की जा सकती है। गुणा के कम्यूटेशन का कानून सत्यापन के लिए तर्क है। गुणात्मकता के दो अलग-अलग संचालन करने और प्राप्त उत्पादों को फोल्ड करने के बाद, गुणक (या गुणक) को दो शर्तों में तोड़कर आप गुणा की जांच कर सकते हैं - प्रारंभिक उत्पाद को बाहर करना चाहिए।

4. विभाजन की जांच करने के लिए, आपको निजी को विभाजक पर गुणा करने और बाकी को काम पर जोड़ने की आवश्यकता है। यह विभाजित होना चाहिए। सत्यापन की इस विधि के लिए तर्क विभाजन संचालन की परिभाषा है।

5. एक वर्ग (या घन) रूट के निष्कर्षण की शुद्धता की जांच एक वर्ग (या घन) में परिणामी संख्या के निर्माण में होती है - प्रारंभिक संख्या प्राप्त की जानी चाहिए।

पूर्णांक के अतिरिक्त या गुणा की जांच करने का विशेष रूप से सरल और बहुत विश्वसनीय तरीका रिसेप्शन है, जो तथाकथित में एक संक्रमण है। "मॉड्यूल 9 द्वारा तुलना"। आइए इस संख्या द्वारा दर्ज की गई 9 मात्रा में विभाजित करने से "अतिरिक्त" शेष राशि को कॉल करें। फिर "अतिरिक्त" के सापेक्ष दो प्रमेय बना सकते हैं: "पूर्णांक की एक अतिरिक्त राशि अतिरिक्त शर्तों की अतिरिक्त मात्रा के बराबर होती है", और "दो पूर्णांकों का अतिरिक्त काम उनके अतिरिक्त के बराबर होता है।" निम्नलिखित इस प्रमेय के आधार पर निरीक्षण के उदाहरण हैं:

मॉड्यूल 9 द्वारा तुलना में संक्रमण की विधि का उपयोग अन्य अंकगणितीय एल्गोरिदम की जांच करते समय भी किया जा सकता है। बेशक, इस तरह की चेक अचूक नहीं है, क्योंकि "अतिरिक्त" के साथ काम त्रुटियों के अधीन है, लेकिन यह स्थिति असंभव है।

ब्याज।

प्रतिशत को एक अंश कहा जाता है जिसमें denominator 100 है; ब्याज को तीन तरीकों से लिखा जा सकता है: एक सामान्य अंश के रूप में, दशमलव अंश या विशेष प्रतिशत परिभाषा की सहायता से। उदाहरण के लिए, 7 प्रतिशत 7/100 के रूप में, 0.07 या 7% के रूप में लिखा जा सकता है।

सबसे आम प्रकार के कार्य का एक उदाहरण निम्नानुसार है: "82 का 17% खोजें"। इस कार्य को हल करने के लिए, आपको उत्पाद 0.17ґ82 \u003d 13.94 की गणना करने की आवश्यकता है। इस तरह के 0.17 के कार्यों में बोली कहा जाता है, 82 आधार, और 13.9 4 - एक अंश प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। तीन उल्लिखित मान संबंध से जुड़े हुए हैं

आधार ґ आधार \u003d प्रतिशत में साझा करें।

यदि कोई भी दो मान ज्ञात हैं, तो तीसरा यह इस अनुपात से निर्धारित कर सकता है। तदनुसार, हमें "प्रति प्रतिशत" तीन प्रकार के कार्य मिलते हैं।

उदाहरण 1।। इस विद्यालय में खोजे गए छात्रों की संख्या 351 से 3 9 6 लोगों तक बढ़ी। इस संख्या में कितना प्रतिशत बढ़ गया?

वृद्धि 396 - 351 \u003d 45 लोग थीं। शॉट 45/351 को प्रतिशत में याद करते हुए, हम 45/351 \u003d 0.128 \u003d 12.8% प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 2।। बिक्री के दौरान स्टोर में घोषणा "सभी वस्तुओं पर छूट 25%"। माल की बिक्री के दौरान कीमत क्या है, जो आमतौर पर $ 3.60 के लिए बेची जाती है?

25% तक $ 3.60 की कीमत में कमी का मतलब 0.25ґ3.60 \u003d 0.90 डॉलर की कमी है; नतीजतन, बिक्री के दौरान माल की कीमत 3.60 - 0.90 \u003d 2.70 डॉलर होगी।

उदाहरण 3।। प्रति वर्ष 5% से कम बैंक में लगाए गए पैसे प्रति वर्ष $ 40 का लाभ लाए। बैंक में किस राशि में रखा गया था?

चूंकि राशि का 5% $ 40 है, इसलिए। 5/100 ґ राशि \u003d $ 40, या 1/100 ґ राशि \u003d $ 8, पूरी राशि 800 डॉलर है।

अनुमानित संख्याओं के अंकगणित।

गणना में उपयोग की जाने वाली कई संख्याएं माप से या अनुमानों से उत्पन्न होती हैं और इसलिए इसे करीब के रूप में करीब माना जा सकता है। जाहिर है, अनुमानित संख्याओं के साथ उत्पादित गणना का नतीजा केवल अनुमानित संख्या हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि फिटिंग के सतही मापों को निम्नलिखित परिणाम दिए गए थे (निकटतम दसवीं मीटर के दौर के साथ): चौड़ाई 1.2 मीटर, लंबाई 3.1 मीटर; यह कहना संभव होगा कि अनुलग्नक का क्षेत्र 1.233.1 \u003d 3.72 मीटर 2 है। हालांकि, हकीकत में जानकारी इतनी परिभाषित नहीं है। चूंकि 1.2 मीटर के मूल्य केवल इस तथ्य के लिए है कि चौड़ाई को मापने का नतीजा 1.15 और 1.25 मीटर और 3.1 के बीच समाप्त हुआ है - कि लंबाई को मापने का नतीजा 3.05 और 3.15 मीटर के बीच समाप्त होता है, के क्षेत्र में समायोजन केवल कहा जा सकता है कि यह 1,15ґ3.05 \u003d 3.5075 से अधिक होना चाहिए, लेकिन 1.25ґ3.15 \u003d 3,9375 से कम होना चाहिए। नतीजतन, प्लुत्व्का क्षेत्र के बारे में सवाल का एकमात्र उचित जवाब यह है कि यह लगभग 3.7 मीटर 2 है।

आइए 3.73 मीटर, 52.1 मीटर और 0.282 मीटर के अनुमानित माप के परिणामों के अतिरिक्त समस्या पर विचार करें। साधारण राशि 56.112 मीटर है। लेकिन, पिछले कार्य में, जो कुछ भी आत्मविश्वास के साथ कहा जा सकता है वह है कि सही राशि 3,725 + 52,05 + 0,2815 \u003d 56,0565 मीटर से अधिक होनी चाहिए और 3,735 + 52,15 + 0,2825 \u003d 56,1765 मीटर से कम है। इस प्रकार, प्रश्न का एकमात्र उचित उत्तर नीचे आता है अनुमोदन कि राशि लगभग 56.1 मीटर है।

उपरोक्त दो उदाहरण अनुमानित संख्याओं के साथ काम करते समय कुछ नियमों को उपयोगी करते हैं। संख्याओं को गोल करने के कई तरीके हैं। उनमें से एक संख्या के युवा अंकों को त्यागने में शामिल है। इस मामले में, यदि पहली छोड़ी गई संख्या पांच से अधिक है, तो अंतिम शेष संकेत को एक द्वारा बढ़ाया जाना चाहिए, यदि कम है, तो बाएं हिस्से का अंतिम संकेत अपरिवर्तित संरक्षित है।

यदि पहला त्याग दिया गया अंक वास्तव में पांच है, तो अंतिम सहेजा गया अंक एक से बढ़ता है, यदि यह अजीब है, और यह भी अपरिवर्तित रहता है। उदाहरण के लिए, जब सेलुलर संख्या 3,1415 9 के लिए गोल; 17,7682; 28.9999; 0.00234; 7.235 और 7,325 संख्या 3.14 में प्रेषित होते हैं; 17.77; 29.00; 0.00; 7.24 और 7.32।

एक और राउंडिंग विधि सार्थक संख्याओं की अवधारणा से जुड़ी हुई है और इसका उपयोग संख्या की संख्या में किया जाता है। अनुमानित संख्या की विशेषता संख्या को बाएं से दाएं क्रम में अपने दशमलव रिकॉर्ड में संख्याएं कहा जाता है, जो पहले अंकों से शून्य से अलग होता है और उस अंक के साथ समाप्त होता है जो त्रुटि से संबंधित दशमलव संकेत के स्थान पर खड़ा होता है। उदाहरण के लिए, अनुमानित संख्या 12.1 की विशेषता संख्या संख्या 1, 2, 1 हैं; अनुमानित संख्या 0.072 - आंकड़े 7, 2; सैकड़ों सटीकता के लिए दर्ज अनुमानित संख्या 82000 8, 2, 0 है।

अब हम अनुमानित संख्याओं के साथ उपरोक्त उपरोक्त नियमों में से दो तैयार करते हैं।

अनुमानित संख्याओं को जोड़ने और घटाने के दौरान, प्रत्येक संख्या कम से कम सटीक संख्या के अंतिम संकेत के लिए संख्या के बाद एक संकेत के लिए गोलाकार है, और प्राप्त राशि और अंतर को कम से कम सटीक संख्या के रूप में समान संख्या में चिह्नित किया जाता है। अनुमानित संख्याओं को गुणा करने और विभाजित करते समय, प्रत्येक संख्या को कम से कम महत्वपूर्ण संख्या की अंतिम अंक संख्या के लिए संख्या के बाद चिह्नित किया जाना चाहिए, और उसी सटीकता के साथ उत्पाद और निजी गोल किया जाता है जिसके साथ कम से कम सटीक संख्या जानता है।

पहले समीक्षा किए गए कार्यों पर लौटने पर, हमें मिलता है:

1,233,1 \u003d 3.72 मीटर 2 "3.7 मीटर 2

3.73 + 52.1 + 0.28 \u003d 56.11 मीटर 2 "56.1 मीटर,

जहां संकेत "का अर्थ है" लगभग बराबर। "

कुछ अंकगणितीय पाठ्यपुस्तक अनुमानित संख्याओं के साथ काम करने के लिए एल्गोरिदम प्रदान करती हैं, जो अनावश्यक संकेतों की गणना करते समय से बचने की इजाजत देती हैं। इसके अलावा, इसका उपयोग तथाकथित द्वारा किया जाता है। अनुमानित संख्याओं का रिकॉर्ड, यानी फॉर्म में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है (संख्या में 1 से 10 की सीमा में संपन्न संख्या) ґ (संख्या 10 की डिग्री), जहां पहले गुणक में केवल संख्या की संख्या संख्या में शामिल हैं। उदाहरण के लिए, 82,000 किमी, सैकड़ों सेमी की निकटतम संख्या के लिए गोल, 8.20 डिग्री सेल्सियस 4 किमी, और 0.00702 सेमी - 7,02 € 10 -3 सेमी के रूप में दर्ज किया जाएगा।

गणितीय सारणी में संख्याएं, ट्रिगोनोमेट्रिक या लॉगरिदम की तालिकाएं अनुमानित हैं, वर्णों की एक निश्चित संख्या के साथ दर्ज की गई हैं। ऐसी तालिकाओं के साथ काम करते समय, अनुमानित संख्याओं के साथ गणना के नियमों का पालन करें।

लॉगरिथि।

17 वीं शताब्दी की शुरुआत तक लागू कंप्यूटिंग कार्यों की जटिलता में वृद्धि हुई है कि बहुत अधिक श्रम और समय के कारण "मैन्युअल रूप से" उनके साथ सामना करना संभव नहीं है। सौभाग्य से, 17 वीं शताब्दी की शुरुआत में जेनेरोमा द्वारा आविष्कार किया गया। लॉगरिदम को उस समस्या से निपटने की अनुमति दी गई थी जो उत्पन्न हुई थी। चूंकि सिद्धांत और लॉगरिदम को विशेष लॉगरिदम लेख में विस्तार से वर्णित किया गया है, इसलिए हम खुद को सबसे आवश्यक जानकारी तक सीमित कर देंगे।

आप दिखा सकते हैं कि अगर एन - सकारात्मक मान्य, फिर एक सकारात्मक वैध संख्या है एक्स।, इस तरह के 10 एक्स। = एन। संख्या एक्स। कहा जाता है (साधारण या दशमलव) लोगारित्म नंबर एन; सशर्त रूप से यह लिखा गया है: एक्स। \u003d लॉग। एन। इस प्रकार, लॉगरिदम डिग्री का संकेतक है, और संकेतकों के साथ कार्यों के नियमों से यह निम्नानुसार है

यह लॉगरिदम के इन गुणों को है कि अंकगणित में उनके व्यापक उपयोग की व्याख्या की जाती है। पहला और दूसरा गुण आपको गुणा और विभाजन के लिए गुणा और विभाजन के लिए एक सरल कार्य के लिए किसी भी कार्य को कम करने की अनुमति देता है। तीसरा और चौथा गुण व्यायाम को डिग्री के लिए कम करने और रूट को हटाने के लिए एक बहुत ही सरल कार्रवाई के लिए कम करना संभव बनाता है: गुणा और विभाजन।

लॉगरिदम के उपयोग की आसानी के लिए, उनकी टेबल तैयार की गई थीं। दशमलव लॉगारिदम की एक तालिका को संकलित करने के लिए, यह केवल 1 से 10 तक संख्याओं के लॉगरिदम को शामिल करने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, 247.6 \u003d 10 2 ґ2,476 के बाद से, हमारे पास है: LOG247,6 \u003d LOG10 2 + LOG2,476 \u003d 2 + LOG2 , 476, और 0.02476 \u003d 10 -2 ґ2,476 के बाद से, तो log0,02476 \u003d log10 -2 + LOG2,476 \u003d -2 + LOG2,476। ध्यान दें कि संख्या का दशमलव लघुगणक 1 से 10 तक की सीमा में 0 से 1 तक स्थित है और इसे दशमलव अंश के रूप में दर्ज किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि किसी भी संख्या का दशमलव लघुगणक लॉगरिदम की विशेषता नामक एक पूर्णांक का योग है, और एक दशमलव अंश जिसे लॉगरिदम मंथिस कहा जाता है। किसी भी संख्या के लॉगरिदम की विशेषता "दिमाग में" पाया जा सकता है; Mantissa लॉगरिदम की तालिकाओं पर पाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम उन तालिकाओं से पाते हैं जो लॉग 2,476 \u003d 0.39375, जहां से LOG247,63 \u003d 2,39375 से। यदि लॉगरिदम की विशेषता नकारात्मक है (जब संख्या एक से छोटी होती है), तो इसे दो सकारात्मक पूर्णांक के अंतर के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, log0,02476 \u003d -2 + 0.39375 \u003d 8,39375 - 10. निम्नलिखित उदाहरण इस तकनीक को समझाते हैं।

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