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गणितीय विश्वकोष - गणित के सभी वर्गों में संदर्भ प्रकाशन। एनसाइक्लोपीडिया का आधार गणित की सबसे महत्वपूर्ण दिशाओं पर अवलोकन लेख है। इस प्रकार के लेखों के लिए मूल आवश्यकता प्रस्तुति की अधिकतम उपलब्धता पर सिद्धांत की वर्तमान स्थिति की समीक्षा की संभावित पूर्णता है; ये लेख आम तौर पर वरिष्ठ पाठ्यक्रम, स्नातक छात्रों और गणित के संबंधित क्षेत्रों में विशेषज्ञों के गणितज्ञों के लिए उपलब्ध हैं, और कुछ मामलों में - ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में विशेषज्ञ अपने काम में लागू होते हैं। गणितीय तरीकों, इंजीनियरों और गणित शिक्षकों। इसके अलावा, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और गणित के तरीकों पर लेख का औसत; ये लेख पाठकों के संकुचित सर्कल के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, इसलिए उनमें प्रस्तुति कम किफायती हो सकती है। अंत में, एक और प्रकार के लेख - संक्षिप्त संदर्भ। विश्वकोश की अंतिम मात्रा के अंत में, एक पर्याप्त सूचक रखा जाएगा, जहां न केवल सभी लेखों के नामों में शामिल होंगे, लेकिन कई अवधारणाओं जिनकी परिभाषाओं को पहले दो प्रकार के लेखों के भीतर संचालित किया जाएगा, साथ ही साथ लेखों में उल्लिखित सबसे महत्वपूर्ण परिणाम। अधिकांश विश्वकोश लेखों के साथ प्रत्येक नाम के लिए अनुक्रम संख्याओं के साथ साहित्य की एक सूची के साथ होती है, जो लेखों के ग्रंथों में उद्धरण देना संभव बनाता है। लेखों के अंत में (एक नियम के रूप में), लेखक या स्रोत निर्दिष्ट किया गया है यदि लेख पहले ही प्रकाशित हो चुका है (मुख्य रूप से यह बड़े सोवियत विश्वकोष का लेख है)। लेखों में उल्लिखित विदेशी (प्राचीन को छोड़कर) वैज्ञानिकों के नाम लैटिन लेखन के साथ हैं (यदि संदर्भों का कोई संदर्भ नहीं है)।

गणितीय विश्वकोष, वॉल्यूम 3, विनोग्राडोव आईएम, 1 9 82 को डाउनलोड और पढ़ें

गणितीय विश्वकोप, वॉल्यूम 2, विनोग्राडोव आईएम, 1 9 7 9 को डाउनलोड और पढ़ें

गणितीय विश्वकोष, वॉल्यूम 1, विनोग्राडोव आईएम, 1 9 77 को डाउनलोड और पढ़ें

प्रारंभ में, बीजगणित समीकरणों को हल करने में लगे गणित का एक वर्ग था। ज्यामिति के विपरीत, बीजगणित का स्वीक्योमैटिक निर्माण XIX शताब्दी के मध्य तक अस्तित्व में नहीं था, जब बीजगणित के विषय और चरित्र पर मूल रूप से नया रूप दिखाई दिया। तथाकथित बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन में अध्ययन तेजी से भेजे गए हैं। इसके दो फायदे थे। एक ओर, क्षेत्रों को परिष्कृत किया गया था जिसके लिए अलग-अलग प्रमेय, दूसरी तरफ, एक ही सबूत का उपयोग पूरी तरह से अलग-अलग क्षेत्रों में करने का अवसर मिला है। बीजगणित का यह अलगाव 20 वीं शताब्दी के मध्य तक अस्तित्व में था, और इसकी अभिव्यक्ति मिली कि दो नाम दिखाई दिए: "शास्त्रीय बीजगणित" और "आधुनिक बीजगणित"। अंतिम और अधिक विशेषता है: "सार बीजगणित"। तथ्य यह है कि इस खंड के लिए - गणित में पहली बार - एक पूर्ण अमूर्तता विशेषता थी।

छोटे गणितीय विश्वकोष, फ्रिड ई।, पादरी I., रिमिमा I., reimima I., revets पी, रुजू I., 1 9 76 को डाउनलोड और पढ़ें

"संभावना और गणितीय सांख्यिकी" - विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में संभावनाओं, गणितीय आंकड़े और उनके अनुप्रयोगों के सिद्धांत पर एक संदर्भ प्रकाशन। एनसाइक्लोपीडिया में, दो भागों: मुख्य व्यक्ति में दृश्यता लेख, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और विधियों पर लेख, संक्षिप्त संदर्भ, बुनियादी अवधारणाओं की पहचान करने, सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय और सूत्रों की पहचान करते हैं। एक महत्वपूर्ण स्थान पर लागू मुद्दों पर भुगतान किया जाता है - सूचना का सिद्धांत, जन सेवा की सिद्धांत, विश्वसनीयता की सिद्धांत, प्रयोग योजना और संबंधित क्षेत्रों - भौतिकी, भूगर्भ विज्ञान, जेनेटिक्स, जनसांख्यिकी, प्रौद्योगिकी के अलग-अलग वर्ग। अधिकांश लेख इस मुद्दे पर सबसे महत्वपूर्ण काम की ग्रंथसूची के साथ होते हैं। लेखों के नामों का अंग्रेजी में भी अनुवाद किया जाता है। दूसरा भाग - "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पर पाठक" में अतीत के घरेलू विश्वकोष के लिए लिखे गए लेख, साथ ही साथ अन्य लेखों में पहले प्रकाशित विश्वकोशीय सामग्रियों के लिए लिखे गए लेख शामिल हैं। एनसाइक्लोपीडिया के साथ पत्रिकाओं, आवधिक और निरंतर प्रकाशनों की एक विस्तृत सूची के साथ संभावनाएं और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांतों के प्रश्नों को शामिल किया गया है।
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लेख की सामग्री

गणित।गणित आमतौर पर अपने कुछ पारंपरिक विभाजन के नामों को लिखकर निर्धारित किया जाता है। सबसे पहले, यह एक अंकगणित है जो संख्याओं के अध्ययन, उनके बीच संबंधों और संख्याओं पर कार्रवाई के नियमों में लगी हुई है। अंकगणित के तथ्य विभिन्न विशिष्ट व्याख्याओं की अनुमति देते हैं; उदाहरण के लिए, 2 + 3 \u003d 4 + 1 का अनुपात इस कथन से मेल खाता है कि दो और तीन किताबें एक ही किताबें चार और एक के रूप में बनती हैं। टाइप 2 + 3 \u003d 4 + 1 का कोई भी अनुपात, यानी भौतिक दुनिया से जो भी व्याख्या के संदर्भ में पूरी तरह से गणितीय वस्तुओं के बीच संबंध सार कहा जाता है। गणित की अमूर्त प्रकृति आपको विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करते समय इसका उपयोग करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, संख्याओं पर संचालन पर विचार करने वाले बीजगणित, आपको अंकगणित से परे जाने वाली समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। गणित का एक और विशिष्ट खंड ज्यामिति है, जिसका मुख्य कार्य वस्तुओं के आकार और रूपों का अध्ययन करना है। ज्यामितीय लीड के साथ बीजगणितीय तरीकों का संयोजन, एक तरफ, त्रिकोणमिति के लिए (शुरुआत में ज्यामितीय त्रिकोणों के अध्ययन के लिए समर्पित था, और अब मुद्दों की एक बड़ी श्रृंखला को कवर करता है), और दूसरी तरफ, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, जिसमें ज्यामितीय बीजगणितीय तरीकों से निकायों और आंकड़ों की जांच की जाती है। उच्चतम बीजगणित और ज्यामिति के कई वर्ग हैं जो उच्च डिग्री के साथ अमूर्तता के साथ हैं और पारंपरिक संख्याओं और पारंपरिक ज्यामितीय आंकड़ों के अध्ययन में शामिल नहीं हैं; ज्यामितीय विषयों के सबसे सार को टोपोलॉजी कहा जाता है।

गणितीय विश्लेषण उन मूल्यों के अध्ययन में लगी हुई है जो अंतरिक्ष में या समय में बदलती हैं, और दो बुनियादी अवधारणाओं पर निर्भर करती हैं - फ़ंक्शन और सीमा जो गणित के अधिक प्राथमिक वर्गों में नहीं मिली है। प्रारंभ में गणितीय विश्लेषण में विभेदक और अभिन्न कैलकुस शामिल थे, लेकिन अब अन्य अनुभाग शामिल हैं।

गणित के दो मुख्य क्षेत्र हैं - शुद्ध गणित, जिसमें फोकस कटौतीत्मक तर्कों पर है, और लागू गणित है। "एप्लाइड मैथमैटिक्स" शब्द कभी-कभी गणित की उन शाखाओं से संबंधित होता है, जो विशेष रूप से विज्ञान के अनुरोधों और आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए बनाए जाते हैं, और कभी-कभी विभिन्न विज्ञान (भौतिकी, अर्थशास्त्र इत्यादि) के उन वर्गों के लिए जो गणित का उपयोग करते हैं समाधान उसके कार्य। "एप्लाइड गणित" की इन दो व्याख्याओं को मिश्रित करने के परिणामस्वरूप गणित के संबंध में कई आम गलतफहमी उत्पन्न होती हैं। अंकगणित पहली अर्थ में लागू गणित के उदाहरण के रूप में कार्य कर सकता है, और लेखांकन दूसरे में है।

व्यापक राय के विपरीत, गणित तेजी से विकसित हो रहा है। गणितीय समीक्षा जर्नल ("गणितीय समीक्षा") सालाना प्रकाशित होती है। नवीनतम परिणामों वाले लेखों के 8000 संक्षिप्त सारांश में नए गणितीय तथ्य, पुराने तथ्यों के नए सबूत और यहां तक \u200b\u200bकि गणित के पूरी तरह से नए क्षेत्रों के बारे में जानकारी भी हैं। गणितीय शिक्षा में वर्तमान प्रवृत्ति गणित शिक्षण के पहले चरणों में आधुनिक, अधिक सार गणितीय विचारों वाले छात्रों की तलाश करना है। यह सभी देखें गणित का इतिहास। गणित सभ्यता के आधारशिला में से एक है, लेकिन बहुत कम लोगों को इस विज्ञान में वर्तमान मामलों की स्थिति का विचार है।

पिछले सौ वर्षों में गणित विषय और अनुसंधान विधियों दोनों के संबंध में बड़े बदलाव हुए हैं। इस लेख में हम आधुनिक गणित के विकास के मुख्य चरणों का एक सामान्य विचार देने की कोशिश करेंगे, जिनके मुख्य परिणामों पर विचार किया जा सकता है, एक तरफ, स्वच्छ और लागू गणित के बीच के अंतर में वृद्धि, और दूसरे पर - पारंपरिक गणित क्षेत्रों की एक पूर्ण पुनर्विचार।

एक गणितीय विधि का विकास

गणित का जन्म।

लगभग 2000 ईसा पूर्व यह देखा गया था कि 3, 4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक त्रिभुज में, कोणों में से एक 90 डिग्री है (इस अवलोकन ने व्यावहारिक आवश्यकता के लिए एक सीधा कोण बनाना आसान बना दिया)। क्या अनुपात 5 2 \u003d 3 2 + 4 2 तब देखा गया? इसके संबंध में, हमारे पास कोई जानकारी नहीं है। कुछ शताब्दियों में, सामान्य नियम खुला था: किसी भी त्रिकोण में एबीसी शीर्ष पर सीधे कोण ए। और पार्टियां बी = एसी तथा सी। = अबजिनके बीच इस कोण का निष्कर्ष निकाला गया है, और विपरीत पार्टी ए। = बीसी। उचित अनुपात ए। 2 = बी 2 + सी। 2। यह कहा जा सकता है कि विज्ञान शुरू होता है जब व्यक्तिगत अवलोकनों का द्रव्यमान एक सामान्य कानून द्वारा समझाया जाता है; नतीजतन, पाइथागोरो प्रमेय के उद्घाटन को वास्तव में वैज्ञानिक उपलब्धि के पहले ज्ञात उदाहरणों में से एक के रूप में देखा जा सकता है।

लेकिन सामान्य रूप से विज्ञान के लिए और गणित के लिए और भी महत्वपूर्ण, विशेष रूप से, यह सामान्य कानून के शब्दों के साथ, इसे साबित करने का प्रयास करता है, यानी। दिखाएं कि यह अन्य ज्यामितीय गुणों से आता है। पूर्वी "साक्ष्य" में से एक विशेष रूप से स्पष्ट रूप से इसकी सादगी में है: इसके बराबर चार त्रिकोण, एक वर्ग में अंकित हैं बीसीडीई तो, जैसा कि ड्राइंग में दिखाया गया है। वर्ग क्षेत्र ए। 2 2 के कुल क्षेत्रफल के साथ चार बराबर त्रिकोणों में विभाजित हो जाता है बीसी। और वर्ग Afgh। वर्ग () बी – सी।) 2। इस तरह, ए। 2 = (बी – सी।) 2 + 2बीसी। = (बी 2 + सी। 2 – 2बीसी।) + 2बीसी। = बी 2 + सी। 2। निर्देशात्मक रूप से एक और कदम उठाएं और अधिक सटीक रूप से पता लगाएं कि "पिछली" गुणों को ज्ञात माना जाता है। सबसे स्पष्ट तथ्य यह है कि त्रिकोण के बाद से बीएसी। तथा बेफ बिल्कुल, रिक्त स्थान और ओवरले के बिना, पार्टियों के साथ "फिट" बी 0 ए। तथा Bf।, इसका मतलब है कि शिखर पर दो कोनों बी तथा से एक त्रिभुज में पेट वे 90 डिग्री के एक कोण का एक कोण बनाते हैं और इसलिए इसके तीनों कोनों का योग 90 डिग्री + 90 डिग्री \u003d 180 डिग्री है। सूत्र का उपयोग उपरोक्त "प्रमाण" में भी किया जाता है ( बीसी।/ 2) एक त्रिकोण वर्ग के लिए एबीसी शीर्ष पर 90 ° के कोण के साथ ए।। वास्तव में, अन्य धारणाओं का उपयोग किया गया था, लेकिन यह भी कहा गया था कि हम गणितीय साक्ष्य के लिए स्पष्ट रूप से एक महत्वपूर्ण तंत्र देख सकते हैं - कटौतीत्मक तर्क, विशुद्ध रूप से तार्किक तर्कों की मदद (एक उचित रूप से तैयार सामग्री के आधार पर, हमारे उदाहरण में - विभाजन स्क्वायर) ज्ञात परिणामों से नए गुण आमतौर पर उपलब्ध डेटा से निम्नानुसार नहीं होते हैं।

वसंत और सबूत तरीके।

गणितीय विधि की मौलिक विशेषताओं में से एक दावों की श्रृंखला के सावधानी से निर्मित पूरी तरह से तार्किक तर्क बनाने की प्रक्रिया है, जिसमें प्रत्येक बाद के लिंक पिछले एक से जुड़ा हुआ है। पहला पर्याप्त स्पष्ट विचार यह है कि किसी भी श्रृंखला में पहला लिंक होना चाहिए। यह परिस्थिति ग्रीक लोगों के लिए स्पष्ट हो गई जब उन्होंने 7 वीं शताब्दी में गणितीय तर्कों की परत को व्यवस्थित करना शुरू किया। बीसी। इस विचार को लागू करने के लिए, ग्रीक को लगभग आवश्यक था। 200 साल, और संरक्षित दस्तावेज हमें केवल एक अनुमानित विचार बनाने की अनुमति देते हैं कि उन्होंने कैसे अभिनय किया। हमारे पास केवल शोध के अंतिम परिणाम के बारे में सटीक जानकारी है - प्रसिद्ध शुरू यूक्लिडा (लगभग 300 ईसा पूर्व)। यूक्लिड प्रारंभिक पदों के हस्तांतरण के साथ शुरू होता है, जिनमें से सभी पूरी तरह तार्किक पथ व्युत्पन्न होते हैं। इन प्रावधानों को एक्सीम्स या पोस्टुलेट कहा जाता है (शब्द व्यावहारिक रूप से अदला-बदली हैं); वे या तो किसी भी प्रकार की वस्तुओं के बहुत ही सामान्य और कई अस्पष्ट गुण व्यक्त करते हैं, उदाहरण के लिए, "पूरे अधिक भाग", या कुछ विशिष्ट गणितीय गुण, उदाहरण के लिए, कि किसी भी दो बिंदुओं के लिए उन्हें एक ही पंक्ति मिलती है। हमारे पास कोई जानकारी नहीं है और क्या यूनानियों ने "सत्य" वसंत का गहरा अर्थ या महत्व संलग्न किया है, हालांकि कुछ संकेत हैं कि कुछ सिद्धांतों को अपनाने से पहले, कुछ समय के लिए ग्रीक लोगों द्वारा चर्चा की गई थी। यूक्लिडा और एक्सीओम्स के उनके अनुयायियों को उनकी प्रकृति के बारे में किसी भी टिप्पणी के बिना गणित बनाने के लिए स्रोत बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है।

साक्ष्य के तरीकों के लिए, वे एक नियम के रूप में, पहले साबित किए गए प्रमेय के लिए सीधे इस्तेमाल किए गए थे। कभी-कभी, हालांकि, तर्क का तर्क अधिक जटिल हो गया। हम यहां एक पसंदीदा यूक्लिडा विधि का उल्लेख करते हैं, जो गणित के दैनिक अभ्यास में प्रवेश करता है, अप्रत्यक्ष साक्ष्य, या विपरीत का सबूत है। दूसरे से सबूत के प्राथमिक उदाहरण के रूप में, हम दिखाते हैं कि शतरंज, जिसमें से विकर्ण के विपरीत सिरों पर स्थित दो कोणीय क्षेत्रों में कटौती की जाती है, उन्हें डोमिनोज़ हड्डियों के साथ लेपित नहीं किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक दो क्षेत्रों के बराबर है। (यह माना जाता है कि एक शतरंज के प्रत्येक क्षेत्र को केवल एक बार कवर किया जाना चाहिए।) मान लीजिए कि विपरीत सत्य है ("बुरा") कथन, यानी बोर्ड को डोमिनोज़ हड्डियों के साथ कवर किया जा सकता है। प्रत्येक हड्डी में एक काला और एक सफेद क्षेत्र शामिल होता है, इसलिए डोमिनोज़ हड्डियों के स्थान के बावजूद वे काले और सफेद क्षेत्रों की समान संख्या को कवर करते हैं। हालांकि, इस तथ्य के कारण कि दो कोणीय क्षेत्रों को हटा दिया जाता है, एक शतरंज (जिस पर यह मूल रूप से व्हाइट के रूप में उसी काले क्षेत्रों के लिए था) में दो रंग के फ़ील्ड दूसरे रंग के क्षेत्र से दो और अधिक होते हैं। इसका मतलब है कि हमारी प्रारंभिक धारणा सत्य नहीं हो सकती है, क्योंकि यह एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। और चूंकि एक दूसरे के विरोधाभास के बाद से एक ही समय में झूठा नहीं हो सकता है (यदि उनमें से एक झूठा है, तो विपरीत सत्य), हमारी प्रारंभिक धारणा सत्य होनी चाहिए, क्योंकि सुझाव विरोधाभासी झूठी है; नतीजतन, दो नक्काशीदार कोणीय क्षेत्रों के साथ एक शतरंज, तिरछे स्थित, डोमिनोज़ हड्डियों के साथ कवर नहीं किया जा सकता है। इसलिए, कुछ बयान साबित करने के लिए, हम मान सकते हैं कि यह झूठा है, और इस सुझाव से कुछ अन्य धारणा के साथ विरोधाभास लाने के लिए, जिसकी सच्चाई ज्ञात है।

विपरीत से सबूत का एक उत्कृष्ट उदाहरण, जो प्राचीन ग्रीक गणित के विकास में मील के पत्थर में से एक बन गया, यह प्रमाणन संख्या नहीं है, यानी अप्रत्याशित अंश पी/प्रकहां है पी तथा प्र - पूर्ण संख्या। यदि, तो 2 \u003d पी 2 /प्र 2, से पी 2 = 2प्र 2। मान लीजिए कि दो पूर्णांक हैं पी तथा प्रजिसके लिए पी 2 = 2प्र 2। दूसरे शब्दों में, हम मानते हैं कि एक पूर्णांक है जिसका वर्ग दूसरे पूर्णांक के वर्ग जितना दोगुना है। यदि कोई पूर्णांक इस स्थिति को पूरा करता है, तो उनमें से एक अन्य सभी से कम होना चाहिए। हम इस तरह के सबसे छोटे पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इसे नंबर दें पी। 2 के बाद से। प्र 2 - यहां तक \u200b\u200bकि संख्या और पी 2 = 2प्र 2, फिर संख्या पी 2 भी होना चाहिए। चूंकि सभी विषम संख्याओं के वर्ग विषम हैं, और वर्ग पी 2 च्यू संख्या है पी भी होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, संख्या पी एक पूरी संख्या के रूप में दो बार आर। जैसा पी = 2आर तथा पी 2 = 2प्र 2, हमारे पास है: (2 आर) 2 = 4आर 2 = 2प्र 2 I. प्र 2 = 2आर 2। अंतिम समानता समानता के समान है पी 2 = 2प्र 2, और हम एक ही तर्क दोहरा सकते हैं, यह दिखाएं कि संख्या प्र यहां तक \u200b\u200bकि एक ऐसे पूर्णांक भी हैं एस, क्या भ प्र = 2एस। परन्तु फिर प्र 2 = (2एस) 2 = 4एस 2, और, बाद में प्र 2 = 2आर 2, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 4 एस 2 = 2आर 2 या आर 2 = 2एस 2। इसलिए हमें एक दूसरा पूर्णांक मिलता है जो इस शर्त को पूरा करता है कि इसका वर्ग दूसरे पूर्णांक के वर्ग से दोगुना है। परन्तु फिर पी ऐसा छोटा नहीं हो सकता (जब से) आर = पी/ 2), हालांकि शुरुआत में हमने माना कि यह ऐसी संख्याओं में से सबसे छोटा था। नतीजतन, हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है, क्योंकि यह एक विरोधाभास की ओर ले जाती है, और इसलिए ऐसे पूर्णांक नहीं हैं पी तथा प्रजिसके लिए पी 2 = 2प्र 2 (यानी ऐसा)। और इसका मतलब है कि संख्या तर्कसंगत नहीं हो सकती है।

यूक्लिडा से 1 9 शताब्दी की शुरुआत तक।

इस अवधि के दौरान, तीन नवाचारों के परिणामस्वरूप गणित में काफी बदलाव आया था।

(1) बीजगणित के विकास में, प्रतीकात्मक रिकॉर्डिंग की एक विधि का आविष्कार किया गया था, जिसने संक्षिप्त रूप में मूल्यों के बीच तेजी से अधिक जटिल संबंधों की पूर्णता की अनुमति दी थी। उन असुविधाओं के उदाहरण के रूप में जो उत्पन्न होंगे, इस तरह के "डांट" न हों, हम अनुपात को शब्दों के साथ स्थानांतरित करने का प्रयास करेंगे ( ए। + बी) 2 = ए। 2 + 2अब + बी 2: "वर्गों के दो वर्गों के किनारों के बराबर पार्टी के साथ वर्ग का वर्ग आयताकार के डबल क्षेत्र के साथ उनके क्षेत्रों के बराबर है, जिनमें से समान हैं वर्ग डेटा की पार्टियों के लिए। "

(2) 17 वीं शताब्दी के पहले भाग में निर्माण। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, जिसने कुछ बीजगणितीय कार्य को कम करने के लिए शास्त्रीय ज्यामिति के किसी भी कार्य के लिए अवसर दिया।

(3) 1600 से 1800 तक असीमित छोटे के कैलकुस की अवधि में निर्माण और विकास, जिसने आसानी से और व्यवस्थित रूप से सीमा और निरंतरता की अवधारणाओं से जुड़े सैकड़ों कार्यों को हल करने की अनुमति दी है, जिनमें से केवल बहुत कम हैं, प्राचीन की सुंदर कठिनाइयों के साथ हल किए गए थे ग्रीक गणितज्ञ। गणित की इन शाखाओं को बीजगणित के लेखों में अधिक विस्तार से माना जाता है; विश्लेषणात्मक ज्यामिति ; गणितीय विश्लेषण ; ज्यामिति समीक्षा।

17 वी से शुरू धीरे-धीरे उस प्रश्न को स्पष्ट करता है जो अब तक अनसुलझा रहा है। गणित क्या है? 1800 तक, जवाब काफी आसान था। उस समय, विभिन्न विज्ञानों के बीच कोई स्पष्ट सीमा नहीं थी, गणित "प्राकृतिक दर्शन" का हिस्सा था - पुनर्जागरण के महान सुधारकों द्वारा प्रस्तावित विधियों द्वारा प्रकृति का एक व्यवस्थित अध्ययन और 17 वी। - गैलीलेम (1564-1642), एफ। कोमोन (1561-1626) और आर। डेकार्ट (15 9 6-1650)। ऐसा माना जाता था कि गणितज्ञों के पास अनुसंधान - संख्या और ज्यामितीय वस्तुओं का अपना क्षेत्र है और गणित प्रयोगात्मक विधि का उपयोग नहीं करते हैं। हालांकि, न्यूटन और उनके अनुयायियों ने युक्लिडा की ज्यामिति को सेट करने के साथ एक्साओमैटिक विधि की मदद से यांत्रिकी और खगोल विज्ञान का अध्ययन किया। आम तौर पर, यह मान्यता मिली थी कि किसी भी विज्ञान जिसमें प्रयोग के परिणाम संख्याओं या संख्याओं की संख्या का उपयोग करके प्रस्तुत किए जाते हैं, गणित के आवेदन का क्षेत्र बन जाते हैं (भौतिकी में, यह सबमिशन केवल 1 9 वीं शताब्दी में स्थापित किया गया था)।

प्रयोगात्मक विज्ञान का क्षेत्र, जिसे गणितीय प्रसंस्करण के अधीन किया गया था, को अक्सर "लागू गणित" कहा जाता है; यह एक बहुत असफल नाम है, क्योंकि न तो क्लासिक और न ही इन अनुप्रयोगों में आधुनिक मानकों में न ही वास्तविक गणितीय तर्कों की एक साधारण अर्थ में मौजूद नहीं है, क्योंकि उनमें गैर-इमेजिंग वस्तुएं हैं। प्रयोगात्मक डेटा की संख्या या समीकरणों की भाषा में अनुवादित होने के बाद (इस तरह के "अनुवाद" को अक्सर "लागू" गणित से उच्च संसाधनों की आवश्यकता होती है, गणितीय प्रमेय के व्यापक उपयोग की संभावना; फिर परिणाम उलट दिया जाता है और अवलोकन के साथ तुलना की जाती है। तथ्य यह है कि इस तरह की प्रक्रिया का उपयोग "गणित" शब्द द्वारा किया जाता है, अंतहीन गलतफहमी के स्रोतों में से एक के रूप में कार्य करता है। "क्लासिक" काल में, जो अब सवाल में हैं, इस तरह की गलतफहमी मौजूद नहीं थी, क्योंकि वही लोग गणितीय विश्लेषण या संख्याओं के सिद्धांत दोनों की समस्याओं को करते हुए "स्वच्छ" गणित "और" गणित "थे, और गतिशीलता या प्रकाशिकी की समस्याएं। हालांकि, "स्वच्छ" और "लागू" गणितज्ञ के निष्कर्षण की दिशा में विशेषज्ञता और प्रवृत्ति में वृद्धि ने सार्वभौमिकता की पहले की मौजूदा परंपरा को काफी हद तक कमजोर कर दिया, और वैज्ञानिकों, जैसे जे। फॉन निमनन (1 9 03-1957), दोनों सक्रिय वैज्ञानिक गतिविधियों का संचालन करने में सक्षम थे, दोनों लागू और स्वच्छ गणित में, वे नियम के बजाय अपवाद बन गए।

गणितीय वस्तुओं की प्रकृति - संख्या, अंक, रेखाएं, कोनों, सतहों, आदि, अस्तित्व, जिसका अस्तित्व हम अनुमान की तरह कुछ मानते हैं? ऐसी वस्तुओं के संबंध में "सत्य" की अवधारणा का क्या अर्थ है? क्लासिक अवधि में इन सवालों को काफी निश्चित उत्तर दिए गए थे। बेशक, उस युग के वैज्ञानिकों ने स्पष्ट रूप से समझा कि हमारी संवेदनाओं की दुनिया में "असीमित रूप से विस्तारित सीधी रेखा" या "एक बिंदु नहीं है" यूक्लिडा जैसी कोई काम नहीं है, क्योंकि वहां कोई "स्वच्छ धातु" नहीं है, "मोनोक्रोमैटिक लाइट" , "हीट इन्सुलेट सिस्टम" और टी .d। प्रयोगकर्ता अपने तर्कों में काम करते हैं। ये सभी अवधारणाएं "प्लेटोनिक विचार" हैं, यानी एक प्रकार का अनुभवजन्य अवधारणाओं के मॉडल, मूल रूप से अन्य चरित्र के बावजूद। फिर भी, चुपचाप यह माना जाता है कि विचारों की भौतिक "छवियां" विचारों के करीब हो सकती हैं। इस हद तक, सामान्य रूप से, आप वस्तुओं की निकटता के बारे में कुछ भी कह सकते हैं, वे कहते हैं कि "विचार" बोलने के लिए, भौतिक वस्तुओं के "मामलों को सीमित" करते हैं। इस दृष्टिकोण से, यूक्लिडस सिद्धांतों और उनसे प्राप्त प्रमेय "आदर्श" वस्तुओं के गुणों को व्यक्त करते हैं जो अनुमानित प्रायोगिक तथ्यों को सुसंगत होना चाहिए। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में तीन बिंदुओं द्वारा बनाई गई त्रिभुज कोणों के ऑप्टिकल तरीकों द्वारा माप, "आदर्श मामले" में 180 डिग्री के बराबर राशि देना चाहिए। दूसरे शब्दों में, सिद्धांतों को भौतिक कानूनों के साथ एक स्तर पर रखा जाता है, और इसलिए उनके "सत्य" को शारीरिक कानूनों की सच्चाई के रूप में माना जाता है; वे। एक्सीओम से तार्किक इंटरैक्शन प्रयोगात्मक डेटा की तुलना करके सत्यापन के अधीन हैं। बेशक, सहमति केवल मापने वाले उपकरण के "अपूर्ण" चरित्र, और मापा वस्तु की "अपूर्ण प्रकृति" से जुड़ी त्रुटि के भीतर ही हासिल की जा सकती है। हालांकि, यह हमेशा माना जाता है कि यदि कानून "सत्य" हैं, तो सिद्धांत रूप में माप प्रक्रियाओं में सुधार मनमाने ढंग से माप को मापने के लिए संभव बनाता है।

18 वी के लिए अधिक से अधिक पुष्टि हुई कि विशेष रूप से खगोल विज्ञान और यांत्रिकी में मुख्य सिद्धांतों से व्युत्पन्न सभी परिणाम प्रयोगों के अनुरूप हैं। और चूंकि इन परिणामों को उस समय मौजूद मौजूदा गणितीय उपकरण का उपयोग करके प्राप्त किया गया था, इसलिए हासिल की गई सफलताओं ने यूक्लिडेए के सिद्धांत की सत्य को मजबूत करने में योगदान दिया, जो प्लेटो ने कहा, "यह हर किसी के लिए स्पष्ट है" और इस पर चर्चा नहीं की जा सकती है ।

संदेह और नई उम्मीदें।

Neevklidova ज्यामिति।

यूक्लाइड द्वारा दिए गए पोस्टुलेट्स में से एक बहुत ही इरादा था कि महान गणित के पहले छात्रों ने भी इसे सिस्टम में कमजोर स्थान माना था शुरू कर दिया है। एक्सीओम, जो प्रश्न में है, का दावा है कि इस प्रत्यक्ष के बाहर झूठ बोलने वाले बिंदु के माध्यम से, केवल एक सीधे, इस प्रत्यक्ष के समानांतर किया जा सकता है। अधिकांश भूगर्भिकों का मानना \u200b\u200bथा कि समानांतर के सिद्धांत को अन्य सिद्धांतों की मदद से साबित किया जा सकता है और यूक्लिड ने पोस्टलेट के रूप में समानांतर के बारे में अनुमोदन तैयार किया क्योंकि वह ऐसे सबूत के बारे में नहीं सोच सका। लेकिन, हालांकि सबसे अच्छे गणित ने समानांतर की समस्या को हल करने की कोशिश की, कोई भी यूक्लाइड को पार करने में सक्षम नहीं था। अंत में, 18 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में। विपरीत से समानांतर के बारे में पोस्ट्युलेट यूक्लिड को साबित करने के लिए प्रयास किए गए थे। सुझाव दिया कि समानांतर झूठ पर वसंत। एक प्राथमिकता यूक्लिड दो मामलों में झूठी हो सकती है: यदि इस प्रत्यक्ष के बाहर के बिंदु के माध्यम से किसी भी समानांतर आचरण करना असंभव है; या यदि आप इसके माध्यम से कई समानांतर खर्च कर सकते हैं। यह पता चला कि पहले एक प्राथमिकता के अवसर को अन्य सिद्धांतों द्वारा बाहर रखा गया है। समानांतर नए सिद्धांतों पर पारंपरिक वसंत के बजाय स्वीकार करना (इस तथ्य के बारे में कि इस प्रत्यक्ष के बाहर के बिंदु के माध्यम से कई प्रत्यक्ष, समानांतर दिया जा सकता है), गणित ने अन्य सिद्धांतों के विपरीत एक बयान लाने की कोशिश की, लेकिन असफल: वे कितने हैं नए "विरोधी नामांकित", या "गैर-बच्चे" सिद्धांतों से परिणाम निकालने की कोशिश की, विरोधाभास कभी प्रकट नहीं हुआ। आखिरकार, एक दूसरे के निलोबाचेव्स्की (17 9 3-1856) और i.be.bei (1802-1860) के स्वतंत्र रूप से समझ गए कि समानांतर पर यूक्लिडियन का पदनाम अस्पष्ट था, या दूसरे शब्दों में, विरोधाभास "गैर-) में दिखाई नहीं देगा बाल ज्यामिति "।

गैर-बच्चे ज्यामिति के आगमन के साथ, कई दार्शनिक समस्याएं तुरंत उत्पन्न होती हैं। चूंकि एक सिद्धांत की आवश्यकता के लिए दावा गायब हो गया है, इसलिए उनके "सत्य" की जांच करने का एक तरीका था - प्रयोगात्मक। लेकिन ए। पूनसर (1854-19 12) के रूप में, किसी भी घटना के विवरण में, इतनी शारीरिक धारणाएं छिपी हुई हैं, जो कोई प्रयोग सत्य या गणितीय वसंत की मिथ्याता के दृढ़ सबूत नहीं दे सकता है। इसके अलावा, भले ही हम मान लें कि हमारी दुनिया नेव्क्लिडोव है, क्या यह इस बात से पालन करता है कि सभी यूक्लिडियन ज्यामिति झूठी है? जहां तक \u200b\u200bजाना जाता है, किसी भी गणितज्ञ ने कभी ऐसी परिकल्पना को गंभीरता से नहीं माना है। अंतर्ज्ञान ने सुझाव दिया कि यूक्लिडियन और निवक्लिडोवा ज्यामिति पूर्ण गणित के उदाहरण हैं।

गणितीय "राक्षस"।

अचानक, वे दूसरी तरफ एक ही निष्कर्ष पर आए - वस्तुओं को खोला गया, जो 1 9 वें गणितज्ञों द्वारा खोले गए थे। सदमे में और "गणितीय राक्षसों" कहा जाता है। यह खोज सीधे बहुत सूक्ष्म गणितीय विश्लेषण मुद्दों से संबंधित है जो केवल 1 9 वी के मध्य में उत्पन्न हुई हैं। एक वक्र की एक प्रयोगात्मक अवधारणा के साथ एक सटीक गणितीय एनालॉग खोजने की कोशिश करते समय कठिनाइयों उत्पन्न हुई। तथ्य यह है कि "निरंतर गति" की अवधारणा का सार (उदाहरण के लिए, पेपर की शीट के साथ चल रही ड्राइंग पेन का isge सटीक गणितीय परिभाषा के अधीन था, और यह लक्ष्य प्राप्त किया गया था जब निरंतरता की अवधारणा ने एक प्राप्त किया था सख्त गणितीय अर्थ ( से। मी. भी वक्र)। सहजता से लग रहा था कि उसके प्रत्येक बिंदु में "वक्र" के रूप में दिशा, यानी है। सामान्य मामले में, इसके प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में, वक्र लगभग सीधे समान व्यवहार करता है। (दूसरी तरफ, यह कल्पना करना मुश्किल नहीं है कि वक्र में कोणीय बिंदुओं की एक सीमित संख्या है, "फ्रेम्स" बहुभुज के रूप में।) यह आवश्यकता गणितीय रूप से तैयार की जा सकती है, अर्थात्, वक्र के लिए एक स्पर्शक का अस्तित्व, और 1 9 वीं शताब्दी के मध्य तक की उम्मीद नहीं थी। ऐसा माना जाता था कि "वक्र" के लगभग सभी बिंदुओं में टेंगेंटल थे, शायद कुछ "विशेष" बिंदुओं के अपवाद के साथ। इसलिए, "वक्र" के उद्घाटन जिनके किसी भी बिंदु पर स्पर्शक नहीं थे, ने वास्तविक घोटाला ( से। मी. भी कार्य सिद्धांत)। (त्रिकोणमिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति से परिचित पाठक आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र वाई = एक्स। पाप (1 / एक्स।), निर्देशांक की शुरुआत में एक स्पर्शक नहीं है, लेकिन वक्र को निर्धारित करने के लिए जिसके पास किसी भी बिंदु में टेंगेंट नहीं है, यह अधिक जटिल है।)

कुछ और "रोगजनक" परिणाम कुछ हद तक प्राप्त किया गया था: एक वक्र का एक उदाहरण बनाना संभव था, जो पूरी तरह से वर्ग भरता है। तब से, इस तरह के "राक्षसों" ने "सामान्य ज्ञान" का आविष्कार किया था। यह जोर दिया जाना चाहिए कि इस तरह के असामान्य गणितीय वस्तुओं का अस्तित्व मुख्य अक्षों से सख्ती से और तार्किक रूप से निर्दोष रूप से, त्रिकोण या दीर्घवृत्त के अस्तित्व के रूप में निम्नानुसार है। चूंकि गणितीय "राक्षस" किसी भी प्रयोगात्मक वस्तु के अनुरूप नहीं हो सकता है, और एकमात्र संभावित निष्कर्ष यह है कि गणितीय "विचार" की दुनिया बहुत अधिक समृद्ध और असामान्य है, इसकी अपेक्षा की जा सकती है, और उनमें से केवल कुछ ही हमारे की दुनिया में अनुपालन करते हैं संवेदनाओं। लेकिन यदि गणितीय "राक्षस" तर्कसंगत रूप से एक्सीओम से पालन करते हैं, तो आप अभी भी सिद्धांतों को सच मान सकते हैं?

नई वस्तुएं।

उपर्युक्त परिणामों को एक तरफ पुष्टि मिली: गणित में, मुख्य रूप से बीजगणित में, एक के बाद एक और गणितीय वस्तुओं को शुरू करने के बाद, जिसने संख्या की अवधारणा के सामान्यीकरण प्रस्तुत किए। सामान्य पूर्णांक काफी "सहज" हैं, और अंश की प्रयोगात्मक अवधारणा में आते हैं, यह मुश्किल नहीं है (हालांकि यह समझना असंभव है कि इकाई को कई बराबर भागों में विभाजित करने का संचालन और उनमें से कई की पसंद अलग है खाता प्रक्रिया से उनकी प्रकृति से)। इसके बाद यह पता चला कि संख्या एक अंश के रूप में जमा की गई है, यूनानियों को तर्कहीन संख्याओं पर विचार करने के लिए मजबूर किया गया था, जिसकी सही परिभाषा जिसमें तर्कसंगत संख्याओं के साथ अनुमानित संख्याओं के असीमित अनुक्रम की सहायता से उच्चतम उपलब्धियां हैं मानव दिमाग में, लेकिन यह हमारी भौतिक दुनिया में वास्तविक कुछ भी के अनुरूप होने की संभावना नहीं है (जहां कोई भी माप अनिवार्य रूप से त्रुटियों से जुड़ा हुआ है)। फिर भी, तर्कहीन संख्याओं का परिचय भौतिक अवधारणाओं के "आदर्शकरण" की भावना में कम या ज्यादा हुआ है। और धीरे-धीरे महान प्रतिरोध को पूरा करने वाले नकारात्मक संख्याओं के बारे में क्या कहना है, बीजगणित के विकास के संबंध में वैज्ञानिक उपयोग में प्रवेश करना शुरू कर दिया? सभी निश्चितता के साथ, यह तर्क दिया जा सकता है कि कोई तैयार भौतिक वस्तुएं नहीं थीं, जिनसे हम प्रत्यक्ष अमूर्तता की प्रक्रिया का उपयोग करते हैं, नकारात्मक संख्या की अवधारणा को विकसित कर सकते हैं, और प्राथमिक पाठ्यक्रम के शिक्षण में, बीजगणित को प्रवेश करना पड़ता है विभिन्न प्रकार के सहायक और पर्याप्त जटिल उदाहरण (उन्मुख सेगमेंट, तापमान, ऋण इत्यादि) स्पष्ट करने के लिए कि क्या नकारात्मक संख्याएं हैं। यह स्थिति अवधारणा से बहुत दूर है, "सभी के लिए स्पष्ट", जैसा कि प्लेटो द्वारा गणित के अंतर्निहित विचारों से आवश्यक है, और अक्सर कॉलेज के स्नातकों से मिलना पड़ता है, जिसके लिए संकेतों का संकेत अभी भी एक रहस्य है (- - - ए।)(–बी) = अब. यह सभी देखें संख्या।

यह "काल्पनिक", या "जटिल" संख्याओं के साथ भी बदतर है, क्योंकि उनमें "संख्या" शामिल है मैं।, ऐसा है कि मैं। 2 \u003d -1, जो संकेतों के नियम का स्पष्ट उल्लंघन है। फिर भी, 16 वीं शताब्दी के अंत से गणित। जटिल संख्याओं के साथ गणना करने में संकोच न करें, जैसे कि उनके पास सार्थक था, हालांकि 200 साल पहले, वे इन "ऑब्जेक्ट्स" को परिभाषित नहीं कर सके या किसी भी सहायक डिजाइन की मदद से उन्हें व्याख्या नहीं कर सके, उदाहरण के लिए, दिशात्मक सेगमेंट नकारात्मक का उपयोग करके व्याख्या की गई थी। संख्या। (1800 के बाद, जटिल संख्याओं की कई व्याख्याओं का प्रस्ताव दिया गया, सबसे प्रसिद्ध - विमान पर वैक्टर का उपयोग कर।)

आधुनिक सिद्धांत।

1 9 वीं शताब्दी के दूसरे छमाही में कूप हुआ। और यद्यपि वह आधिकारिक बयानों को अपनाने के साथ नहीं था, वास्तव में यह एक तरह की "स्वतंत्रता की घोषणा" की घोषणा के बारे में था। विशेष रूप से - बाहरी दुनिया से गणित की आजादी की वास्तविकता की घोषणा के बारे में।

इस दृष्टिकोण से, गणितीय "ऑब्जेक्ट्स", यदि सभी अपने "अस्तित्व" के बारे में बात करने के लिए समझ में आता है, तो एक स्वच्छ कारण, और क्या उनके पास कोई "अनुरूपता" है और गणित के लिए भौतिक दुनिया में किसी भी "व्याख्या" की अनुमति देता है महत्वहीन है (हालांकि यह सवाल ही दिलचस्प है)।

इस तरह के "ऑब्जेक्ट्स" के बारे में "सत्य" कथन एक्सीओम से सभी समान तार्किक परिणाम हैं। लेकिन अब, सिद्धांतों को पूरी तरह से मनमाने ढंग से माना जाना चाहिए, और इसलिए यह "आदर्श" के माध्यम से रोजमर्रा के अनुभव से उनकी "स्पष्टता" या प्रदर्शन की आवश्यकता को गायब कर देता है। व्यावहारिक रूप से, पूर्ण स्वतंत्रता विभिन्न प्रकार के विचारों तक ही सीमित है। बेशक, "क्लासिक" ऑब्जेक्ट्स और उनके सिद्धांत अपरिवर्तित रहते हैं, लेकिन अब उन्हें गणित के एकमात्र वस्तुओं और सिद्धांतों पर विचार नहीं किया जा सकता है, और रोजमर्रा की प्रथाओं में उन्होंने एक्सीम्स को फेंकने या फिर से करने की आदत में प्रवेश किया ताकि उनका उपयोग करना संभव था विभिन्न तरीकों से, जैसा कि यूक्लिडियन ज्यामिति से नेव्क्लिडोवा में संक्रमण के दौरान किया गया था। (यह यूक्लिडियन ज्यामिति के अलावा और लैबचेव्स्की ज्यामिति - boyii के अलावा "गैर-बच्चे" ज्यामिति के लिए कई विकल्प थे; उदाहरण के लिए, नव-बच्चे ज्यामिति हैं जिसमें कोई समानांतर सीधी रेखाएं नहीं हैं।)

मैं विशेष रूप से एक परिस्थिति पर जोर देना चाहता हूं, गणितीय "ऑब्जेक्ट्स" के नए दृष्टिकोण से निम्नलिखित: सभी सबूत विशेष रूप से स्वयंसिद्धों पर आधारित होना चाहिए। अगर हम गणितीय साक्ष्य के दृढ़ संकल्प को याद करते हैं, तो इस तरह का एक बयान दोहराना प्रतीत होता है। हालांकि, इस नियम को अपने ऑब्जेक्ट्स या एक्सीम्स की "सहज" प्रकृति के कारण शास्त्रीय गणित में शायद ही कभी सम्मानित किया गया था। तक में शुरू यूक्लिडा, उनके सभी स्पष्ट "सख्तता" के साथ, कई सिद्धांतों को स्पष्ट रूप से तैयार नहीं किया जाता है और कई गुण या चुपचाप ग्रहण किए जाते हैं, या पर्याप्त औचित्य के बिना पेश किए जाते हैं। एक ठोस नींव पर यूक्लिडियन ज्यामिति डालने के लिए, इसने इसका एक महत्वपूर्ण संशोधन लिया। यह कहना मुश्किल है कि साक्ष्य के सबसे छोटे सामानों पर पैडेंटिक नियंत्रण "राक्षसों" की उपस्थिति का परिणाम है जिन्होंने आधुनिक गणितज्ञों को निष्कर्षों में सावधान रहने के लिए सीखा है। शास्त्रीय वस्तुओं के बारे में सबसे निर्दोष और "आत्म-स्पष्ट" बयान, उदाहरण के लिए, इस बात का दावा है कि लाइन से अलग-अलग दिशाओं के साथ स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले वक्र, निश्चित रूप से आधुनिक गणित में, सख्त औपचारिक साक्ष्य की आवश्यकता होती है।

यह विरोधाभासी वक्तव्य प्रतीत हो सकता है कि सिद्धांतों के प्रति अपनी प्रतिबद्धता के कारण, आधुनिक गणित किसी भी विज्ञान के बारे में एक दृश्य उदाहरण के रूप में कार्य करता है। फिर भी, इस तरह के एक दृष्टिकोण वैज्ञानिक सोच की सबसे मौलिक प्रक्रियाओं में से एक की एक विशेषता विशेषता को दर्शाता है - अधूरा ज्ञान की स्थिति में सटीक जानकारी प्राप्त करना। ऑब्जेक्ट्स के एक निश्चित वर्ग का एक वैज्ञानिक अध्ययन से पता चलता है कि दूसरों से कुछ वस्तुओं को अलग करने के लिए सुविधाओं को जानबूझकर शामिल किया जाता है, और केवल विचाराधीन वस्तुओं की सामान्य विशेषताएं संग्रहीत की जाती हैं। विज्ञान की कुल पंक्ति से गणित आवंटित करता है, यह सख्ती से अपने सभी वस्तुओं में इस कार्यक्रम का पालन करना है। ऐसा माना जाता है कि गणितीय वस्तुओं को इन वस्तुओं के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सिद्धांतों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है; या, पॉइन्केरे के अनुसार, एक्सियंस उन वस्तुओं की "छिपी परिभाषाएं" के रूप में कार्य करते हैं जिनसे वे संबंधित हैं।

आधुनिक गणित

हालांकि सैद्धांतिक रूप से, किसी भी वसंत का अस्तित्व आज तक, केवल एक छोटी संख्या में सिद्धांतों का प्रस्ताव दिया गया है और अध्ययन किया गया है। आम तौर पर, एक या कई सिद्धांतों के विकास के दौरान, ध्यान दें कि किसी प्रकार की सबूत योजनाएं कम या ज्यादा समान स्थितियों में दोहराई जाती हैं। सामान्य साक्ष्य योजनाओं में उपयोग की जाने वाली संपत्तियों के बाद, वे एक सिद्धांत के रूप में तैयार किए जाते हैं, और प्रभाव एक सामान्य सिद्धांत में बनाए जाते हैं जिनके पास उन विशिष्ट संदर्भों का सीधा संबंध नहीं है, जिनमें से एक्सियंस अमूर्त थे। प्राप्त सामान्य प्रमेय किसी भी गणितीय स्थिति पर लागू होते हैं जिसमें संबंधित सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाली वस्तुओं की प्रणालियां होती हैं। विभिन्न गणितीय परिस्थितियों में एक ही सबूत योजनाओं की दोहराव से पता चलता है कि हम एक ही सामान्य सिद्धांत के विभिन्न विनिर्देशों से निपट रहे हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक स्थिति में इस सिद्धांत के सिद्धांतों की इसी व्याख्या के बाद प्रमेय हो जाता है। एक्सीओम से प्राप्त की गई कोई भी संपत्ति इन सभी स्थितियों में उचित होगी, लेकिन प्रत्येक मामले के लिए अलग सबूत की आवश्यकता गायब हो जाती है। ऐसे मामलों में, यह कहा जाता है कि गणितीय परिस्थितियों में एक ही गणितीय "संरचना" होता है।

हम अपने दैनिक जीवन में हर कदम पर संरचना के विचार का उपयोग करते हैं। यदि थर्मामीटर 10 डिग्री सेल्सियस दिखाता है और पूर्वानुमान ब्यूरो 5 डिग्री सेल्सियस तक तापमान में वृद्धि की भविष्यवाणी करता है, तो हम किसी भी कंप्यूटेशंस के बिना 15 डिग्री सेल्सियस पर तापमान की उम्मीद करते हैं। यदि पुस्तक 10 वें पृष्ठ पर खुली है और हमें 5 देखने के लिए कहा जाता है पेज आगे, हम मध्यवर्ती पृष्ठों की गणना किए बिना 15 वें पृष्ठ पर इसे खोलने में संकोच नहीं करते हैं। दोनों मामलों में, हम मानते हैं कि संख्याओं के अतिरिक्त तापमान या पृष्ठ संख्याओं के रूप में उनकी व्याख्या के बावजूद सही परिणाम देता है। हमें थर्मामीटर के लिए एक अंकगणित सीखने की कोई आवश्यकता नहीं है, और दूसरा - पृष्ठ संख्याओं के लिए (हालांकि हम विशेष अंकगणित का उपयोग करते हैं, जो घड़ी से निपटते हैं, जिसमें 8 + 5 \u003d 1 होता है, क्योंकि घड़ी में पुस्तक पृष्ठों की तुलना में एक और संरचना होती है)। गणितज्ञों को ब्याज की संरचना कुछ हद तक उच्च जटिलता है, जो यह सुनिश्चित करना मुश्किल नहीं है कि इस आलेख के निम्नलिखित खंडों के लिए समर्पित हैं। उनमें से एक में, यह समूहों और संरचनाओं और आइसोमोर्फिज्म की गणितीय अवधारणाओं के सिद्धांत के बारे में होगा।

समूह सिद्धांत।

सामान्य रूप से ऊपर उल्लिखित प्रक्रिया को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आधुनिक गणित की प्रयोगशाला में देखने के लिए साहस लें और अपने मुख्य उपकरणों में से एक को देखें - समूह सिद्धांत ( से। मी. भी बीजगणित सार)। समूह ने सेट (या "सेट") ऑब्जेक्ट्स कहा जीजहां ऑपरेशन को किसी भी दो वस्तुओं या तत्वों के अनुपालन में परिभाषित किया जाता है ए।, बी का जीनिर्दिष्ट क्रम में लिया गया (प्रथम - तत्व ए।, दूसरा - तत्व बी), तीसरा तत्व सी। का जी एक सख्ती से परिभाषित नियम के अनुसार। संक्षिप्तता के लिए हम इस आइटम को दर्शाते हैं ए।*बी; एक तारांकन (*) का अर्थ है दो तत्वों की संरचना का संचालन। यह ऑपरेशन, जिसे हम समूह गुणा कहते हैं, को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:

(1) किसी भी तीन तत्वों के लिए ए।, बी, सी। का जी सहयोगी संपत्ति का प्रदर्शन किया जाता है: ए।* (बी*सी।) = (ए।*बी) *सी।;

(2) में जी ऐसा कोई तत्व है इ।किसी भी तत्व के लिए क्या ए। का जी एक अनुपात है इ।*ए। = ए।*इ। = ए।; यह तत्व इ। समूह का एकल या तटस्थ तत्व कहा जाता है;

(3) किसी भी तत्व के लिए ए। का जी ऐसा कोई तत्व है ए।ў, जिसे रिवर्स या सममित कहा जाता है तत्व ए।, क्या भ ए।*ए।ў = ए।ў* ए। = इ।.

यदि इन गुणों को एक्सीम्स के लिए लिया जाता है, तो उनके तार्किक परिणाम (किसी भी अन्य सिद्धांतों या प्रमेय से स्वतंत्र) एक साथ समूह के सिद्धांत के सिद्धांत के रूप में परंपरागत क्या है। एक बार और हमेशा के लिए वापस लेने के लिए, ये परिणाम बहुत उपयोगी थे, क्योंकि समूहों का व्यापक रूप से गणित के सभी वर्गों में उपयोग किया जाता है। समूहों के हजारों संभावित उदाहरणों में से, हम केवल कुछ सरल चुनेंगे।

(ए) अंश पी/प्रकहां है पी तथा प्र - मनमानी पूर्णांक і1 (जब प्र \u003d 1 हम सामान्य पूर्णांक प्राप्त करते हैं)। Drobi। पी/प्र समूह गुणा के संबंध में एक समूह बनाएं ( पी/प्र) *(आर/एस) = (पीआर।)/(क्यूएस।)। गुण (1), (2), (3) अंकगणित के एक्सीम से पालन करें। वास्तव में, [( पी/प्र) *(आर/एस)] *(टी/यू) = (prt।)/(qSU।) = (पी/प्र)*[(आर/एस)*(टी/यू)]। इकाई तत्व संख्या 1 \u003d 1/1 की सेवा करता है, क्योंकि (1/1) * ( पी/प्र) \u003d (1CH पी) / (1CH प्र) = पी/प्र। अंत में, तत्व वापस अंश के लिए पी/प्रएक अंश है प्र/पी, जैसा ( पी/प्र)*(प्र/पी) = (पी क्यू।)/(पी क्यू।) = 1.

(b) इस पर विचार करें जी चार पूर्णांक 0, 1, 2, 3, और के रूप में सेट ए।*बी - विभाजन का शेष ए। + बी द्वारा 4 ऑपरेशन में प्रवेश किया गया परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए जाते हैं। 1 (तत्व ए।*बी क्रॉसिंग लाइन पर खड़ा है ए। और स्तंभ बी)। यह सत्यापित करना आसान है कि गुण (1) - (3) किया जाता है, और इकाई तत्व संख्या 0 है।

(c) के रूप में चयन करें जी संख्या 1, 2, 3, 4, और के रूप में सेट ए।*बी - विभाजन का शेष अब (सामान्य कार्य) 5. परिणामस्वरूप, हम तालिका प्राप्त करते हैं। 2. यह सत्यापित करना आसान है कि गुण (1) - (3) किया जाता है, और इकाई तत्व 1 कार्य करता है।

(डी) चार वस्तुओं, उदाहरण के लिए, चार संख्या 1, 2, 3, 4, कई 24 विधियों में रखा जा सकता है। प्रत्येक स्थान को स्पष्ट रूप से एक परिवर्तन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो निर्दिष्ट में "प्राकृतिक" स्थान का अनुवाद करता है; उदाहरण के लिए, स्थान 4, 1, 2, 3 रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है

एस: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

जिसे अधिक सुविधाजनक तरीके से लिखा जा सकता है

ऐसे किसी भी दो परिवर्तनों के लिए एस, टीहम परिभाषित करते हैं एस*टी एक परिवर्तन के रूप में जो लगातार निष्पादन के परिणामस्वरूप होगा टी, और फिर एस। उदाहरण के लिए, यदि, तो। इस परिभाषा के साथ, सभी 24 संभावित परिवर्तन एक समूह बनाते हैं; इसका यूनिट तत्व कार्य करता है, और तत्व को उलटा करता है एसयह परिभाषा में तीरों को बदलते समय पता चला है एस विपरीत पर; उदाहरण के लिए, यदि, तो।

यह देखना आसान है कि पहले तीन उदाहरणों में ए।*बी = बी*ए।; ऐसे मामलों में, यह कहा जाता है कि समूह या समूह को कम्यूटेटिव का गुणा। दूसरी ओर, पिछले उदाहरण में, और इसलिए, टी*एस से भिन्न है एस*टी.

उदाहरण (डी) से समूह तथाकथित का एक विशेष मामला है। उन अनुप्रयोगों के दायरे में सममित समूह जिसमें अन्य चीजों के साथ, बीजगणितीय समीकरणों को हल करने और परमाणुओं के स्पेक्ट्रा में लाइनों के व्यवहार को हल करने के तरीके शामिल हैं। उदाहरणों के समूह (बी) और (सी) संख्याओं के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; उदाहरण (बी), संख्या 4 को किसी भी पूर्णांक के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है एन, और 0 से 3 तक संख्या - 0 से नंबर एन - 1 (कब) एन \u003d 12 हम उन संख्याओं की प्रणाली प्राप्त करेंगे जो घंटों की घड़ियों पर खड़े हैं, जिसे हमने ऊपर वर्णित किया है); उदाहरण में (सी), संख्या 5 को किसी भी साधारण संख्या के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आर, और संख्या 1 से 4 तक - संख्या 1 से पी – 1.

संरचनाएं और आइसोमोर्फिज्म।

पिछले उदाहरण दिखाएं कि समूह बनाने वाली वस्तुओं की प्रकृति कितनी विविध हो सकती है। लेकिन वास्तव में, प्रत्येक मामले में, सबकुछ एक ही परिदृश्य के लिए आता है: कई वस्तुओं के गुणों से हम केवल उन लोगों पर विचार करते हैं जो इस सेट को समूह में बदल देते हैं (यहां ज्ञान की अपूर्णता का एक उदाहरण है!)। ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि हम हमारे द्वारा चुने गए समूह गुणा द्वारा निर्दिष्ट समूह संरचना पर विचार करते हैं।

संरचना का एक और उदाहरण तथाकथित है। आदेश की संरचना। बहुत से इ। आदेश की संरचना के साथ संपन्न, या तत्वों के बीच आदेश दिया गया ए। è बीसंबद्ध इ।, कुछ रिश्ते सेट करें जो हम निरूपित करते हैं आर (ए।,बी)। (इस तरह के एक दृष्टिकोण को किसी भी जोड़ी के तत्वों के लिए समझना चाहिए इ।लेकिन आम तौर पर यह कुछ जोड़ों के लिए गलत है और वास्तव में दूसरों के लिए, उदाहरण के लिए, अनुपात 7

(1) आर (ए।,ए।) हर किसी के लिए सच है लेकिन असे संबंधित इ।;

(2) से आर (ए।,बी) मैं। आर (बी,ए।) इस प्रकार है ए। = बी;

(3) से आर (ए।,बी) मैं। आर (बी,सी।) का पालन करें आर (ए।,सी।).

आइए विभिन्न आदेशित सेटों की एक बड़ी संख्या से कुछ उदाहरण दें।

(लेकिन अ) इ। सभी पूर्णांक होते हैं, आर (ए।,बी) - अनुपात " लेकिन अ कम या बराबर बी».

(बी) इ। सभी पूर्णांक\u003e 1 के होते हैं, आर (ए।,बी) - अनुपात " लेकिन अ डेलिट बी या बराबर बी».

(सी) इ। विमान पर सभी मंडलियों के होते हैं, आर (ए।,बी) - अनुपात "सर्कल ए। इसमें रखा बी या मेल खाता है बी».

संरचना की अंतिम संरचना के रूप में, हम मीट्रिक स्थान की संरचना का उल्लेख करते हैं; इस तरह की एक संरचना सेट पर सेट है इ।यदि तत्वों की प्रत्येक जोड़ी ए। तथा बीसंबद्ध इ।, आप संख्या के अनुरूप रख सकते हैं डी (ए।,बी) І 0, निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट:

(1) डी (ए।,बी) \u003d 0 उसमें और केवल मामला कब ए। = बी;

(2) डी (बी,ए।) = डी (ए।,बी);

(3) डी (ए।,सी।) Ј डी (ए।,बी) + डी (बी,सी।) किसी भी तीन सेट तत्वों के लिए ए।, बी, सी। का इ।.

हम मीट्रिक रिक्त स्थान के उदाहरण देते हैं:

(ए) सामान्य "त्रि-आयामी" स्थान, जहां डी (ए।,बी) - सामान्य (या "यूक्लिडियन") दूरी;

(बी) क्षेत्र की सतह जहां डी (ए।,बी) - दो बिंदुओं को जोड़ने वाले सबसे छोटे चाप सर्कल की लंबाई ए। तथा बी क्षेत्र पर;

संरचना की अवधारणा की सटीक परिभाषा काफी मुश्किल है। विवरण में जाने के बिना, हम यह कह सकते हैं कि सेट पर इ। सेट के तत्वों के बीच एक निश्चित प्रकार की संरचना निर्दिष्ट है इ। (और कभी-कभी अन्य ऑब्जेक्ट्स, उदाहरण के लिए, सहायक भूमिका निभाते हुए संख्याएं) को एक रिश्ते दिया जाता है जो विचाराधीन प्रकार की संरचना को चित्रित करने वाली एक्सीम की कुछ निश्चित असेंबली को संतुष्ट करता है। ऊपर, हमने तीन प्रकार के ढांचे के सिद्धांतों का नेतृत्व किया। बेशक, कई अन्य प्रकार की संरचनाएं हैं जिनके सिद्धांत पूरी तरह से विकसित किए गए हैं।

संरचना की अवधारणा के साथ, कई अमूर्त अवधारणाएं निकटता से जुड़ी हुई हैं; हम केवल सबसे महत्वपूर्ण - आइसोमोर्फिज्म की अवधारणा को बुलाते हैं। पिछले खंड में दिखाए गए समूहों (बी) और (सी) के उदाहरण को याद करें। तालिका से जांचना आसान है। 1 मेज पर। 2 मिलान करके संसाधित किया जा सकता है

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3।

इस मामले में, हम कहते हैं कि ये समूह आइसोमोर्फिक हैं। सामान्य रूप से, दो समूह जी तथा जीў आइसोमोर्फिक यदि समूह के तत्वों के बीच जी और समूह तत्व जीў आप इस तरह के पारस्परिक रूप से अस्पष्ट अनुपालन स्थापित कर सकते हैं। ए। « ए।ў अगर अगर सी। = ए।*बीटी सी।ў = ए।ў* बीў संबंधित तत्वों के लिए जी।। समूह के सिद्धांत से किसी भी बयान, बस समूह के लिए जी, ताकत और समूह के लिए बनी हुई है जीў, और इसके विपरीत। बीजगणितीय समूह जी तथा जीў अविभाज्य।

पाठक आसानी से यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि दो आइसोमोर्फिक आदेशित सेट या दो आइसोमोर्फिक मीट्रिक रिक्त स्थान को उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि आइसोमोर्फिज्म की अवधारणा किसी भी प्रकार की संरचनाओं पर लागू होती है।

वर्गीकरण

गणित का पुराना और नया वर्गीकरण।

आधुनिक गणित में संरचना और संबंधित अन्य अवधारणाओं की अवधारणा पूरी तरह से "तकनीकी" और दार्शनिक और पद्धतिगत बिंदुओं के साथ दोनों के साथ एक केंद्रीय स्थान है। मुख्य प्रकार के संरचनाओं के सामान्य प्रमेय गणितीय "तकनीकों" के बेहद शक्तिशाली उपकरण के रूप में कार्य करते हैं। जब भी गणित यह दिखाने का प्रबंधन करता है कि उनके द्वारा अध्ययन की गई वस्तुएं एक निश्चित प्रकार की संरचनाओं के सिद्धांतों को संतुष्ट करती हैं, तो यह साबित करती है कि इस प्रकार की संरचना के सभी प्रमेय विशिष्ट वस्तुओं पर लागू होते हैं, जिनमें से वह व्यस्त होता है (इन आमों के बिना) प्रमेय, यह पूरी तरह से अपने विशिष्ट विकल्पों की दृष्टि से चूक गया है, या अत्यधिक मान्यताओं के साथ अपने तर्कों को बोझ करने के लिए मजबूर किया जाएगा)। इसी प्रकार, यदि यह साबित हुआ है कि दो संरचनाएं समरूप हैं, तो संख्या प्रमेय तुरंत युगल होती है: प्रत्येक प्रमेय, संरचनाओं में से एक के लिए साबित होती है, तुरंत दूसरे के लिए इसी प्रमेय को देती है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि, बहुत जटिल और कठिन सिद्धांत हैं, उदाहरण के लिए, संख्याओं के सिद्धांत में "कक्षा क्षेत्र सिद्धांत", मुख्य लक्ष्य संरचनाओं के समरूपता का प्रमाण है।

दार्शनिक दृष्टिकोण से, संरचनाओं और आइसोमोर्फिज्म का व्यापक उपयोग आधुनिक गणित की मुख्य विशेषता को दर्शाता है - तथ्य यह है कि गणितीय "वस्तुओं" की "प्रकृति" में बहुत महत्व नहीं है, केवल वस्तुओं के बीच संबंध सार्थक हैं (एक प्रकार का ज्ञान के भुगतान का सिद्धांत)।

अंत में, यह उल्लेख करना असंभव है कि संरचना की अवधारणा को गणित के वर्गों को एक नए तरीके से वर्गीकृत करने की अनुमति दी गई है। 19 वीं शताब्दी के मध्य तक वे अध्ययन के विषय के अनुसार अलग थे। अंकगणित (या संख्या का सिद्धांत) पूर्णांक, ज्यामिति से निपट रहा था - सीधे, कोनों, बहुभुज, मंडलियों, वर्गों आदि के साथ। बीजगणित लगभग विशेष रूप से संख्यात्मक समीकरणों या समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों से जुड़ा हुआ था, विश्लेषणात्मक ज्यामिति विकसित विधियों को समतुल्य कार्यों में ज्यामितीय कार्यों के परिवर्तन के लिए विकसित विधियां। गणित के एक अन्य प्रमुख वर्ग के हितों की सीमा, जिसे "गणितीय विश्लेषण" कहा जाता है, में मुख्य रूप से अंतर और अभिन्न गणना और ज्यामिति, बीजगणित और यहां तक \u200b\u200bकि संख्याओं के सिद्धांत के लिए उनके विभिन्न अनुप्रयोग शामिल थे। इन अनुप्रयोगों की संख्या में वृद्धि, वृद्धि और उनके अर्थ, जिससे उपधारा के लिए गणितीय विश्लेषण को कुचलने के लिए प्रेरित किया गया: कार्यों का सिद्धांत, अंतर समीकरण (सामान्य और निजी डेरिवेटिव), अंतर ज्यामिति, विविधता कैलकुस इत्यादि।

कई आधुनिक गणितज्ञों के लिए, यह दृष्टिकोण पहले पशु प्रकृतिवादियों द्वारा वर्गीकरण के इतिहास जैसा दिखता है: एक बार समुद्री कछुए, और टूना मछली माना जाता था, क्योंकि वे पानी में रहते थे और इसी तरह की विशेषताएं थीं। एक आधुनिक दृष्टिकोण ने हमें न केवल सतह पर झूठ बोलने के लिए सिखाया, बल्कि गहन दिखने के लिए और गणितीय वस्तुओं की भ्रामक उपस्थिति के तहत मौलिक संरचनाओं को पहचानने का प्रयास किया। इस दृष्टिकोण से, सबसे महत्वपूर्ण प्रकार की संरचनाओं का महत्व महत्वपूर्ण है। यह असंभव है कि हमारे निपटारे में इन प्रकारों की एक पूर्ण और अंतिम सूची है; उनमें से कुछ पिछले 20 वर्षों में खोले गए थे, और भविष्य में नई खोजों की अपेक्षा करने का हर कारण है। हालांकि, हमारे पास पहले से ही कई बुनियादी "सार" संरचनाओं का एक विचार है। (वे गणित की "क्लासिक" वस्तुओं की तुलना में "सार" हैं, हालांकि उन्हें शायद ही "विशिष्ट" कहा जा सकता है; यह अमूर्तता की डिग्री के बजाय है।)

प्रसिद्ध संरचनाओं को उनके या उनकी जटिलता से संबंधों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। एक तरफ, "बीजगणितीय" संरचनाओं का एक व्यापक ब्लॉक है, जिसका विशेष मामला है, उदाहरण के लिए, एक समूह संरचना; अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के बीच, हम छल्ले और खेतों को बुलाते हैं ( से। मी. भीबीजगणित सार)। बीजगणित संरचनाओं के अध्ययन में लगे गणित के अनुभाग को सामान्य, या शास्त्रीय, बीजगणित के विपरीत "आधुनिक बीजगणित" या "सार अर्जुरबा" कहा जाता था। यूक्लिडियन ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण हिस्सा, neevklidova ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी नए बीजगणित का हिस्सा बन गया।

सामान्यता के समान स्तर पर संरचनाओं के दो अन्य ब्लॉक हैं। उनमें से एक, जिसे कुल टोपोलॉजी कहा जाता है, में संरचनाओं के प्रकार का सिद्धांत शामिल है, जिसका विशेष मामला मीट्रिक स्थान की संरचना है ( से। मी। टोपोलॉजी; सार स्थान)। तीसरा ब्लॉक आदेश और उनके एक्सटेंशन की संरचनाओं के सिद्धांत का गठन करता है। संरचना का "विस्तार" नए लोगों के मौजूदा सिद्धांतों में नया जोड़ना है। उदाहरण के लिए, यदि समूह स्वयंसिद्ध चौथे वसंत के रूप में एक कम्यूटेटिव संपत्ति जोड़ते हैं ए।*बी = बी*ए।, हम कम्यूटिव (या एबेलियन) समूह की संरचना प्राप्त करते हैं।

इन तीनों ब्लॉक में से दो आखिरी बार जब तक हाल ही में अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में थे, और "आधुनिक बीजगणित" ब्लॉक तेजी से बढ़े, कभी-कभी अप्रत्याशित दिशाओं में (उदाहरण के लिए, एक संपूर्ण उद्योग विकसित किया गया, जिसे "होमोलॉगस बीजगणित" कहा जाता था)। तथाकथित के बाहर "शुद्ध" प्रकार के संरचनाएं एक और स्तर - "मिश्रित" संरचनाएं हैं, जैसे कि बीजगणितीय और टोपोलॉजिकल, साथ ही अपने सिद्धांतों को नए बाध्यकारी के साथ। ऐसे कई संयोजनों का अध्ययन किया गया था, जिनमें से अधिकांश दो व्यापक ब्लॉक - "टोपोलॉजिकल बीजगणित" और "बीजगणितीय टोपोलॉजी" में विघटित हो जाते हैं।

एक साथ लिया गया, ये ब्लॉक विज्ञान के "सार" क्षेत्र की एक बहुत ही ठोस मात्रा का गठन करते हैं। कई गणित आशा करते हैं कि नए धन की मदद से क्लासिक सिद्धांतों को समझना और मुश्किल समस्याओं को हल करना बेहतर है। दरअसल, अमूर्तता और सामान्यीकरण के इसी स्तर के साथ, पूर्वजों के कार्य नए प्रकाश में दिखाई दे सकते हैं, जो आपको उन्हें समाधान खोजने की अनुमति देगा। शास्त्रीय सामग्री के बड़े टुकड़े नए गणित के शासन के तहत थे और अन्य सिद्धांतों के साथ परिवर्तित या विलय कर दिए गए थे। व्यापक क्षेत्र रहते हैं जिसमें आधुनिक विधियां इतनी गहराई से नहीं हैं। उदाहरणों में अंतर समीकरणों का सिद्धांत और संख्याओं के सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा शामिल है। यह बहुत संभावना है कि नए प्रकार के ढांचे खोले जाने और सावधानीपूर्वक अध्ययन करने के बाद इन क्षेत्रों में पर्याप्त प्रगति हासिल की जाएगी।

दार्शनिक कठिनाइयों

अधिक प्राचीन यूनानियों ने स्पष्ट रूप से समझा कि गणितीय सिद्धांत विरोधाभासों से मुक्त होना चाहिए। इसका मतलब है कि वसंत दावे के तार्किक परिणाम के रूप में वापस लेना असंभव है आर और उसका इनकार पी। हालांकि, चूंकि यह माना जाता था कि गणितीय वस्तुओं की वास्तविक दुनिया में अनुरूपता है, और स्वयंसिद्ध प्रकृति के नियमों के "आदर्श" हैं, किसी को भी गणित की स्थिरता के बारे में संदेह नहीं है। शास्त्रीय गणित से गणित में जाने पर, स्थिरता की समस्या ने एक अलग अर्थ हासिल किया है। किसी भी गणितीय सिद्धांत के सिद्धांतों की पसंद की स्वतंत्रता स्पष्ट रूप से स्थिरता की स्थिति से सीमित होनी चाहिए, लेकिन क्या यह सुनिश्चित करना संभव है कि यह स्थिति पूरी हो जाएगी?

हमने पहले ही एक सेट की अवधारणा का उल्लेख किया है। इस अवधारणा का हमेशा गणित और तर्क में अधिक या कम स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है। 19 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में। सेट की अवधारणा को संभालने के लिए प्राथमिक नियम आंशिक रूप से व्यवस्थित किए गए थे, इसके अलावा, तथाकथित की गई कुछ महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए थे। सिद्धांतों को सेट करें ( से। मी. भी सिद्धांत सेट), जो अन्य सभी गणितीय सिद्धांतों का एक सब्सट्रेट बन गया। पुरातनता से शुरू और 19 वी तक अपेक्षाकृत अनंत सेटों के डर थे, उदाहरण के लिए, जो जेनॉन एले (5 वी। बीसी) के प्रसिद्ध विरोधाभासों में परिलक्षित थे। ये चिंताएं आंशिक रूप से आंशिक चरित्र थीं, और आंशिक रूप से मूल्यों को मापने की अवधारणा से जुड़ी कठिनाइयों के कारण हुई थीं (उदाहरण के लिए, लंबाई या समय)। इन कठिनाइयों को खत्म करें केवल 19 वी के बाद ही सफल हुए। गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं को सख्ती से परिभाषित किया गया था। 18 9 5 तक, सभी डर दूर कर दिए गए थे, और ऐसा लगता था कि गणित सेट के सिद्धांत की एक अस्थिर नींव पर आराम कर रहा था। लेकिन अगले दशक में नए तर्क थे, जिन्होंने स्पष्ट रूप से, सेट के सिद्धांत (और शेष गणित) के आंतरिक विरोधाभासों को दिखाया।

नए विरोधाभास बहुत सरल थे। पहला रसेल का विरोधाभास है - कोई भी एक साधारण संस्करण में विचार कर सकता है जिसे "ब्रांड आयोग के विरोधाभास" के नाम से जाना जाता है। कुछ शहर में, ब्रैडोब्री उन सभी निवासियों को शेव करता है जो खुद को दाढ़ी नहीं देते हैं। ब्रांड को किसे हिलाता है? यदि मस्तिष्क स्वयं को शव करता है, तो वह न केवल उन निवासियों को शेव करता है जो शेव नहीं करते हैं, बल्कि एक निवासकर्ता भी हैं जो खुद को हिलाते हैं; अगर वह खुद हिला नहीं देता है, तो वह उस शहर के सभी निवासियों को दाढ़ी नहीं देगा जो खुद को दाढ़ी नहीं देते हैं। इस प्रकार का विरोधाभास तब उत्पन्न होता है जब भी "कई सेट" की अवधारणा पर विचार किया जाता है। यद्यपि यह गणितीय वस्तु बहुत स्वाभाविक प्रतीत होती है, इसके बारे में तर्क जल्दी से विरोधाभास की ओर जाता है।

बेरी का एक और अधिक संकेतक विरोधाभास। कई रूसी वाक्यांशों पर विचार करें जिसमें सत्रह शब्द से अधिक नहीं हैं; पाठ्यक्रम की रूसी भाषा के शब्दों की संख्या, इसलिए, निश्चित रूप से, इस तरह के वाक्यांशों की संख्या। उनमें से चुनें जो किसी भी पूर्णांक को अनियंत्रित रूप से सेट करते हैं, उदाहरण के लिए: "सबसे बड़ी विषम संख्या, दस से कम। ऐसे वाक्यांशों की संख्या भी निश्चित रूप से है; नतीजतन, ज़ाहिर है, उनके द्वारा निर्धारित कई पूर्णांक। इन नंबरों के अंतिम सेट को निरूपित करें डी। अंकगणित के सिद्धांत से यह इस प्रकार है कि ऐसे पूर्णांक हैं जो संबंधित नहीं हैं डीऔर इन नंबरों में से एक छोटी संख्या है एन। यह संख्या है एन निश्चित रूप से वाक्यांश द्वारा निर्धारित: "सबसे छोटा पूर्णांक जो वाक्यांश द्वारा निर्धारित नहीं किया जा सकता है जिसमें सत्रह रूसी शब्द शामिल हैं।" लेकिन इस वाक्यांश में बिल्कुल सत्रह शब्द हैं। इसलिए, यह संख्या निर्धारित करता है एनवह होना चाहिए डीऔर हम विरोधाभासी विरोधाभास के लिए आते हैं।

अंतरिक्षविदों और औपचारिकतावादी।

सेट के सिद्धांत के विरोधाभासों के कारण सदमे ने विभिन्न प्रतिक्रियाओं को जन्म दिया। कुछ गणितज्ञों को बहुत दृढ़ता से स्थापित किया गया था और यह राय व्यक्त की गई थी कि गणित की शुरुआत से ही गलत दिशा में विकसित हुई और पूरी तरह से अलग नींव पर आधारित होना चाहिए। इस तरह के "अंतर्ज्ञानवादियों" के दृष्टिकोण का वर्णन करें (जैसा कि वे खुद को कॉल करना शुरू करते हैं) किसी भी निश्चित रूप से संभव है, क्योंकि उन्होंने अपने विचारों को पूरी तरह से तार्किक योजना में कम करने से इनकार कर दिया। Intuionists के दृष्टिकोण से, सहज रूप से गैर-सबमिट करने योग्य वस्तुओं के लिए तार्किक प्रक्रियाओं को लागू करना गलत है। एकमात्र सहज वस्तुएं प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, ... और प्राकृतिक संख्याओं के अंतिम सेट, सटीक निर्दिष्ट नियमों के लिए "निर्मित" हैं। लेकिन ऐसी वस्तुओं तक भी, अंतःस्थापकों को शास्त्रीय तर्क के सभी कटौती को लागू करने की अनुमति नहीं थी। उदाहरण के लिए, उन्होंने किसी भी अनुमोदन के लिए यह नहीं पहचाना आर सच आरया नहीं आर। ऐसे सीमित साधन प्रस्तुत करते हुए, उन्होंने आसानी से "विरोधाभास" से परहेज किया, लेकिन साथ ही न केवल सभी आधुनिक गणित को बाहर निकाला, बल्कि शास्त्रीय गणित के परिणामों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा, और जो बने रहे, उन्हें नया खोजना आवश्यक था, अधिक जटिल सबूत।

आधुनिक गणितज्ञों का भारी बहुमत अंतःशिरावादियों के तर्कों से सहमत नहीं था। गैर-अतुल्य गणितज्ञों ने देखा कि विरोधाभासों में उपयोग किए गए तर्क उन लोगों से अलग-अलग होते हैं जो कि सेट के सिद्धांत के साथ पारंपरिक गणितीय काम में उपयोग किए जाते हैं, और इसलिए इस तरह के तर्कों को जोखिम में मौजूदा गणितीय सिद्धांतों को उजागर किए बिना अवैध रूप से अवैध रूप से बाहर करना चाहिए। अन्य अवलोकन में इस तथ्य में शामिल था कि "बेवकूफ" सिद्धांतों में "विरोधाभास" की उपस्थिति से पहले "विरोधाभास" की उपस्थिति से पहले अस्तित्व में था, "सेट", "संपत्ति", "रवैया" शब्द के अर्थ से सवाल नहीं किया गया था - केवल शास्त्रीय ज्यामिति में सामान्य ज्यामितीय अवधारणाओं की प्रकृति "अंतर्ज्ञानी" द्वारा सवाल नहीं किया गया था। इसलिए, यह वैसे ही हो सकता है जैसे कि यह ज्यामिति में था, अर्थात् "अंतर्ज्ञान" से अपील करने के लिए सभी प्रयासों को त्यागने और एक्सीम द्वारा तैयार किए गए सेट के सिद्धांत को अपनाने के लिए। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि इस तरह के शब्दों को "संपत्ति" या "रवैया", उनके सामान्य अर्थ के रूप में कैसे वंचित करना है; इस बीच, अगर हम बेरी के विरोधाभास के रूप में इस तरह के तर्क को बाहर करना चाहते हैं तो यह किया जाना चाहिए। यह विधि सिद्धांतों या प्रमेय के शब्द में एक सामान्य भाषा के उपयोग से रोकथाम में है; हार्ड नियमों की स्पष्ट प्रणाली के अनुसार बनाए गए केवल सुझावों को गणित में "गुण" या "रिश्ते" के रूप में अनुमति दी जाती है और इसे सिद्धांतों के निर्माण में शामिल किया जाता है। इस तरह की एक प्रक्रिया को गणितीय भाषा के "औपचारिकरण" कहा जाता है (सामान्य भाषा की अस्पष्टताओं के कारण होने वाली गलतफहमी से बचने के लिए, एक और कदम उठाने और औपचारिक प्रस्तावों में विशेष प्रतीकों के साथ शब्दों को प्रतिस्थापित करने की सिफारिश की जाती है, उदाहरण के लिए, लिगामेंट को बदलें "और" प्रतीक और लिगामेंट "या" - कॉमर्सेंट का प्रतीक, "मौजूद" - $, आदि का प्रतीक)। इंट्यूओनिस्ट द्वारा प्रस्तावित तरीकों को खारिज करने वाले गणितज्ञों को "औपचारिकवादियों" कहा जाना शुरू किया।

हालांकि, मूल प्रश्न को प्रतिक्रिया नहीं दी गई थी। क्या विवाद "सेट का सिद्धांत सिद्धांत" है? "औपचारिक" सिद्धांतों की निरंतरता के साक्ष्य के नए प्रयासों को 1 9 20 के दशक में डीगिलबर्ट (1862-19 43) और उनके स्कूल द्वारा किया गया और "मेटामैटामेटिक्स" का नाम प्राप्त हुआ। अनिवार्य रूप से, मेटामैथमैटिक्स "एप्लाइड मैथमैटिक्स" का एक अनुभाग है, जहां ऑब्जेक्ट्स जिनके लिए गणितीय तर्क लागू किया जाता है, औपचारिक सिद्धांत और सबूत के भीतर उनके स्थान के प्रस्ताव हैं। इन प्रस्तावों को केवल कुछ स्थापित नियमों द्वारा उत्पादित प्रतीकों के भौतिक संयोजनों के रूप में माना जाना चाहिए, इन पात्रों (यदि कोई हो) के संभावित "अर्थ" के किसी भी संदर्भ के बिना। एक अच्छा सादृश्य शतरंज का खेल है: प्रतीक आंकड़े के अनुरूप हैं, प्रस्ताव - बोर्ड पर विभिन्न पदों, और तर्क निष्कर्ष - आंकड़ों के आंदोलन के नियम। औपचारिक सिद्धांत की स्थिरता स्थापित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि इस सिद्धांत में, 0 № 0. के दावे के साथ कोई सबूत समाप्त नहीं होता है, हालांकि, "मेटामैथेमेटिकल" सबूत में गणितीय तर्कों के उपयोग के खिलाफ बहस करना संभव है गणितीय सिद्धांत की संगति; यदि गणित विरोधाभासी थे, तो गणितीय तर्क सभी शक्तियों को खो देंगे, और हम करीब सर्कल में होंगे। इन आपत्तियों का उत्तर देने के लिए, हिल्बर्ट ने मेटामैटेशन में प्रकार का बहुत सीमित गणितीय तर्क दिया, जिसे स्वीकार्य अंतःशिरावादी माना जाता है। हालांकि, जल्द ही के। गोडेल ने दिखाया (1 9 31) कि अंकगणितीय की स्थिरता इतनी सीमित माध्यम साबित नहीं की जा सकी, अगर यह वास्तव में सुसंगत है (इस आलेख का दायरा हमें एक विचित्र विधि निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है, जिसके साथ यह अद्भुत परिणाम था प्राप्त, और मेटामैटामैटिक्स का और इतिहास)।

वर्तमान समस्या की स्थिति के एक औपचारिक बिंदु से संक्षेप में, हमें यह मानना \u200b\u200bचाहिए कि यह पूरा होने से बहुत दूर है। एक सेट की अवधारणा का उपयोग आरक्षण तक सीमित था, जिसे विशेष रूप से प्रसिद्ध विरोधाभासों से बचने के लिए पेश किया गया था, और कोई गारंटी नहीं है कि नए विरोधाभास सेट के स्वैच्छिक सेट में उत्पन्न नहीं होंगे। फिर भी, सेट के स्वैच्छिक सिद्धांत की सीमाओं ने नए व्यवहार्य सिद्धांतों के जन्म को रोक नहीं दिया।

गणित और वास्तविक दुनिया

गणित की आजादी के बारे में बयान के बावजूद, कोई भी इनकार नहीं करेगा कि गणित और भौतिक दुनिया एक दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं। बेशक, शास्त्रीय भौतिकी की समस्याओं को हल करने के लिए एक गणितीय दृष्टिकोण लागू रहता है। यह सच है कि गणित के एक बहुत ही महत्वपूर्ण क्षेत्र में, अर्थात्, अंतर समीकरणों के सिद्धांत में, सामान्य और निजी डेरिवेटिव में, भौतिकी और गणित के पारस्परिक संवर्द्धन की प्रक्रिया काफी उपयोगी होती है।

गणित माइक्रोवेर्ल्ड की घटनाओं की व्याख्या करने में उपयोगी है। हालांकि, गणित के नए "अनुप्रयोग" क्लासिक से काफी भिन्न होते हैं। भौतिकी के सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक संभावनाओं का सिद्धांत था, जो मुख्य रूप से जुआ और बीमा व्यवसाय के सिद्धांत में उपयोग किया जाता था। गणितीय वस्तुएं जो भौतिकविदों ने "परमाणु राज्यों", या "संक्रमण" के अनुपालन में डाल दिया, बहुत ही अमूर्त चरित्र हैं और क्वांटम यांत्रिकी की उपस्थिति से पहले गणितज्ञों द्वारा पेश और जांच की गई थी। यह जोड़ा जाना चाहिए कि पहली सफलता के बाद गंभीर कठिनाइयों का सामना करना पड़ा। इस समय ऐसा हुआ जब भौतिकविदों ने क्वांटम सिद्धांत के अधिक सूक्ष्म पहलुओं को गणितीय विचारों को लागू करने की कोशिश की; फिर भी, कई भौतिकविद नए गणितीय सिद्धांतों को देखना जारी रखते हैं, मानते हैं कि वे उन्हें नई समस्याओं को हल करने में उनकी मदद करेंगे।

गणित - विज्ञान या कला?

यहां तक \u200b\u200bकि यदि हम "स्वच्छ" गणित में शामिल हैं तो संभावनाओं या गणितीय तर्क के सिद्धांत में, यह पता चला है कि वर्तमान में अन्य विज्ञान प्रसिद्ध गणितीय परिणामों के 50% से कम उपयोग करते हैं। शेष आधे के बारे में हमें क्या सोचना चाहिए? दूसरे शब्दों में, गणित के क्षेत्र क्या हैं, जो शारीरिक समस्याओं के समाधान से संबंधित नहीं हैं?

हमने इस तरह के प्रमेय के एक सामान्य प्रतिनिधि के रूप में संख्या की तर्कसंगतता का उल्लेख कर चुका है। एक और उदाहरण है, जो J. L.L.L.L.Magrage (1736-1813) द्वारा सिद्ध किया गया है। यह असंभव है कि एक गणितज्ञ है जो इसे "महत्वपूर्ण" या "सुंदर" नहीं कहेंगे। Lagrange प्रमेय का तर्क है कि किसी भी पूर्णांक, एक के लिए अधिक या बराबर, चार से अधिक संख्याओं के वर्गों के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, 23 \u003d 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2। मामलों की वर्तमान स्थिति के साथ, यह असंभव है कि कुछ प्रयोगात्मक कार्य को हल करते समय यह परिणाम आसान हो सकता है। सच है, भौतिकी आज पूर्णांक के साथ सौदा अतीत की तुलना में अक्सर अधिक बार, लेकिन वे संचालित करने वाले पूर्णांक हमेशा सीमित होते हैं (वे शायद ही कभी कई सौ से अधिक होते हैं); नतीजतन, एक अल्पांग प्रमेय के रूप में इस तरह के एक प्रमेय केवल "उपयोगी" हो सकता है यदि इसका उपयोग किसी भी सीमा से गुजरने वाली किसी भी संख्या में उपयोग करने के लिए किया जाता है। लेकिन अल्पांग प्रमेय के शब्द को सीमित करने के लिए हमें सीमित करने के लायक है, क्योंकि यह तुरंत गणित के लिए दिलचस्प हो जाता है, क्योंकि इस प्रमेय के पूरे आकर्षक बल में सभी पूर्णांकों में इसकी प्रयोज्यता होती है। (पूर्णांक के बारे में एक बड़ी भीड़ है जो कंप्यूटरों के साथ बहुत बड़ी संख्या के लिए जांच की जा सकती है; लेकिन, सामान्य सबूत जल्द ही नहीं पाए जाते हैं, वे काल्पनिक रहते हैं और पेशेवर गणितज्ञों के लिए दिलचस्प नहीं हैं।)

प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों से दूर विषयों पर एकाग्रता किसी भी क्षेत्र में काम कर रहे वैज्ञानिकों के लिए कुछ असामान्य नहीं है, चाहे खगोल विज्ञान या जीवविज्ञान। हालांकि, प्रयोगात्मक परिणाम को स्पष्ट और सुधार किया जा सकता है, गणितीय सबूत हमेशा अंतिम होता है। यही कारण है कि प्रलोभन से गणित पर विचार करना, या कम से कम उस हिस्से पर विचार करना मुश्किल है, जो कला के रूप में "वास्तविकता" से संबंधित नहीं है। गणितीय समस्याओं को बाहर से नहीं लगाया जाता है, और यदि हम आधुनिक दृष्टिकोण लेते हैं, तो हम पूरी तरह से सामग्री की पसंद में स्वतंत्र हैं। कुछ गणितीय काम का आकलन करने में, गणितज्ञों के पास कोई "उद्देश्य" मानदंड नहीं होता है, और उन्हें अपने "स्वाद" पर भरोसा करने के लिए मजबूर किया जाता है। समय, देश, परंपराओं और व्यक्तियों के आधार पर स्वाद बहुत बदल जाते हैं। आधुनिक गणित में फैशन और "स्कूल" हैं। वर्तमान में, तीन "स्कूल" हैं, जिन्हें हम सुविधा के लिए "क्लासिकिज्म", "आधुनिकता" और "अमूर्तता" कहेंगे। उनके बीच मतभेदों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम विभिन्न मानदंडों का विश्लेषण करते हैं कि सिद्धांत या समूह प्रमेय का मूल्यांकन करते समय गणित का उपयोग करता है।

(1) सामान्य राय के अनुसार, "सुंदर" गणितीय परिणाम गैर-तुच्छ, यानी होना चाहिए स्वयंसिद्धों या पहले सिद्ध प्रमेय का एक स्पष्ट परिणाम नहीं होना चाहिए; सबूत कुछ नए विचारों का उपयोग करना चाहिए या पुराने विचार मजाकिया हैं। दूसरे शब्दों में, परिणाम गणित के लिए महत्वपूर्ण है, और उन कठिनाइयों पर काबू पाने की प्रक्रिया जिसके साथ उन्हें प्राप्त होने पर सामना करना पड़ा।

(2) किसी भी गणितीय समस्या का अपना इतिहास होता है, इसलिए "वंशावली" बोलने के लिए, जो एक ही सामान्य योजना का पालन करता है कि किसी भी विज्ञान का इतिहास विकसित हो रहा है: पहली सफलता के बाद, उत्तर से पहले एक निश्चित समय आयोजित किया जा सकता है सवाल पर। जब निर्णय प्राप्त किया गया था, तो कहानी इसके साथ समाप्त नहीं होती है, क्योंकि विस्तार और सामान्यीकरण की प्रसिद्ध प्रक्रियाएं शुरू होती हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त वर्णित अल्पांग प्रमेय ने किसी भी पूर्णांक को क्यूब्स, चौथे, पांचवीं डिग्री इत्यादि के रूप में प्रस्तुत करने के सवाल की ओर ले जाया है। तो "भिन्नता की समस्या" होती है, जिसे अभी भी अंतिम अनुमति नहीं मिली है। इसके अलावा, अगर हम भाग्यशाली हैं, तो हमारे साथ समस्या एक या एक से अधिक मौलिक संरचनाओं से जुड़ी होगी, और बदले में, इन संरचनाओं से जुड़ी नई समस्याओं का कारण बन जाएगी। यहां तक \u200b\u200bकि यदि प्रारंभिक सिद्धांत अंततः "मर जाता है", तो यह आमतौर पर अपने आप के बाद कई लाइव शूट छोड़ देता है। आधुनिक गणितज्ञों ने कार्यों के इतने असंतुलित सहयोग का सामना किया है, भले ही प्रयोगात्मक विज्ञान के साथ कोई भी संबंध बाधित हो जाए, तो उनका निर्णय कुछ और सदियों पर कब्जा करेगा।

(3) प्रत्येक गणितज्ञ इस बात से सहमत होगा कि जब उसके सामने एक नया कार्य उत्पन्न होता है, तो उसका कर्तव्य किसी भी संभावित माध्यम से इसे हल करना है। जब कार्य शास्त्रीय गणितीय वस्तुओं की चिंता करता है (क्लासिकिस्ट शायद ही कभी अन्य प्रकार की वस्तुओं से निपटते हैं), क्लासिकिस्ट केवल शास्त्रीय साधनों का उपयोग करके इसे हल करने की कोशिश कर रहे हैं, जबकि अन्य गणित कार्य से संबंधित सामान्य प्रमेय का उपयोग करने के लिए अधिक "सार" संरचनाएं पेश करते हैं। यह अंतर दृष्टिकोण नया नहीं है। 19 वी से शुरू गणित को "रणनीति" में विभाजित किया गया है ताकि समस्या के लिए पूरी तरह से बिजली समाधान ढूंढ सकें, और "रणनीतिकार" पर, युद्धाभ्यास को बाईपास करने के लिए प्रवण, दुश्मन को छोटी ताकतों के साथ कुचलने का मौका दिया।

(4) प्रमेय की "सौंदर्य" का आवश्यक तत्व इसकी सादगी है। बेशक, सादगी की खोज पूरे वैज्ञानिक विचार द्वारा विशेषता है। लेकिन प्रयोगकर्ता "बदसूरत निर्णय" के साथ मेल खाने के लिए तैयार हैं, यदि केवल कार्य हल किया गया था। उसी तरह गणित में, क्लासिकिस्ट्स और अमूर्ततावादी "पैथोलॉजिकल" परिणामों की उपस्थिति के बारे में बहुत चिंतित नहीं हैं। दूसरी तरफ, आधुनिकतावादी अब तक आते हैं कि वे "पैथोलॉजीज" की उपस्थिति में लक्षण के सिद्धांत को देखते हैं, जो मौलिक अवधारणाओं की अपूर्णता को दर्शाता है।

गणितीय विश्वकोष - गणित के सभी वर्गों में संदर्भ प्रकाशन। एनसाइक्लोपीडिया का आधार गणित की सबसे महत्वपूर्ण दिशाओं पर अवलोकन लेख है। इस प्रकार के लेखों के लिए मूल आवश्यकता प्रस्तुति की अधिकतम उपलब्धता पर सिद्धांत की वर्तमान स्थिति की समीक्षा की संभावित पूर्णता है; ये लेख आम तौर पर वरिष्ठ पाठ्यक्रमों, स्नातक छात्रों और गणित के संबंधित क्षेत्रों में विशेषज्ञों के गणितज्ञों के लिए उपलब्ध होते हैं, और कुछ मामलों में - ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में विशेषज्ञ, अपने काम, इंजीनियरों और गणित शिक्षकों में गणितीय तरीकों को लागू करते हैं। इसके अलावा, व्यक्तिगत विशिष्ट समस्याओं और गणित के तरीकों पर लेख का औसत; ये लेख पाठकों के संकुचित सर्कल के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, इसलिए उनमें प्रस्तुति कम किफायती हो सकती है। अंत में, एक और प्रकार के लेख - संक्षिप्त संदर्भ। कुछ परिभाषाओं को पहले दो प्रकार के लेखों के भीतर दिया जाता है। अधिकांश विश्वकोश लेखों के साथ प्रत्येक नाम के लिए अनुक्रम संख्याओं के साथ साहित्य की एक सूची के साथ होती है, जो लेखों के ग्रंथों में उद्धरण देना संभव बनाता है। लेखों के अंत में (एक नियम के रूप में), लेखक या स्रोत निर्दिष्ट किया गया है यदि लेख पहले ही प्रकाशित हो चुका है (मुख्य रूप से यह बड़े सोवियत विश्वकोष का लेख है)। लेखों में उल्लिखित विदेशी (प्राचीन को छोड़कर) वैज्ञानिकों के नाम लैटिन लेखन के साथ हैं (यदि संदर्भों का कोई संदर्भ नहीं है)।

विश्वकोष में लेखों की व्यवस्था का सिद्धांत वर्णमाला है। यदि लेख का शीर्षक समानार्थी शब्द है, तो बाद में मुख्य के बाद लाया जाता है। कई मामलों में, लेखों के नामों में दो या अधिक शब्द होते हैं। इन मामलों में, शर्तें या तो सबसे आम रूप में दी जाती हैं, या पहली जगह में इसे अर्थ में मुख्य शब्द बनाया जाता है। यदि आलेख में अपना नाम शामिल है, तो यह पहली जगह (ऐसे लेखों के साहित्य की सूची में, एक नियम के रूप में, शब्द के नाम को समझाते हुए प्राथमिक स्रोत होता है)। लेखों के नाम मुख्य रूप से एकवचन में दिए जाते हैं।

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मॉस्को 1977।

गणितीय विश्वकोष। वॉल्यूम 1 (ए - डी)

संपादक-इन-चीफ I. Vinogradov

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गणितीय विश्वकोष। ईडी। कॉलेज: I. एम। Vinogradov (अध्याय लाल) [और अन्य] टी 1 - एम।, सोवियत एनसाइक्लोपीडिया, 1 9 77

(एनसाइक्लोपीडिया। शब्दकोश। संदर्भ), टी। 1. ए - जी। 1 9 77. 1152 एसटीबी। बीमार के साथ।

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गणितीय एनसाइक्लोपीडिया

गणितीय एनसाइक्लोपीडिया - गणितीय विषयों को समर्पित पांच खंडों में सोवियत विश्वकोष संस्करण। प्रकाशन हाउस "सोवियत एनसाइक्लोपीडिया" द्वारा -1985 में जारी किया गया। संपादक-इन-चीफ: अकादमिक I. Vinogradov।

यह गणित के सभी प्रमुख वर्गों में एक मौलिक सचित्र संस्करण है। पुस्तक विषय पर व्यापक सामग्री, प्रसिद्ध गणितज्ञों, चित्रों, ग्राफिक्स, आरेखों और चार्ट की जीवनी प्रस्तुत करती है।

सामान्य मात्रा: लगभग 3000 पेज। टॉमम पर लेखों का वितरण:

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वॉल्यूम 3: निर्देशांक - ठोस, 5 9 2 पीपी।
वॉल्यूम 4: ओका प्रमेय एक जटिल समारोह है, 608 पीपी।
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उस 5 के लिए परिशिष्ट: विषय सूचकांक, चयनित टाइपो की सूची।

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विश्वकोश - (नोवोलत। एनसाइक्लोपीडिया (एक्सवीआई शताब्दी से पहले नहीं) अन्य यूनानी से। Ἐγκύκλιος παιδεία "पूर्ण श्रेणी में प्रशिक्षण", ύύκλος सर्कल और παιδεία प्रशिक्षण / Piydey) लिमिटेड ... विकिपीडिया

विश्वकोश - (ग्रीक से। enkyyklios paideia ज्ञान के सर्कल के आसपास प्रशिक्षण), वैज्ञानिक या वैज्ञानिक Systematizer युक्त लोकप्रिय संदर्भ प्रकाशन। ज्ञान का तिजोरी। ई में सामग्री वर्णमाला क्रम में या व्यवस्थित रूप से है। सिद्धांत (ज्ञान की शाखाओं द्वारा)। ... ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोशिक शब्दकोश

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गणितीय अधिष्ठापन - पूर्ण गणितीय प्रेरण (नाम। गणित में, अक्सर बस पूर्ण प्रेरण; इस मामले में, इस अवधारणा को गैर-नर्स से अलग किया जाना चाहिए। पूर्ण प्रेरण की अवधारणा का औपचारिक तर्क), - सामान्य प्रस्तावों के सबूत प्राप्त करना .. ... दार्शनिक विश्वकोश

गणितीय परिकल्पना - आकार, प्रजातियों, समीकरण की प्रकृति की प्रकृति की प्रकृति के रूप में, एक नए, अभी भी अस्पष्टीकृत क्षेत्र में एक अंतर्निहित कानून के रूप में इसे फैलाने के लिए अनुमानित परिवर्तन। एम जी व्यापक रूप से एससीयू के लिए लागू किया गया। सैद्धांतिक ... ... दार्शनिक विश्वकोश

राजनीतिक अर्थव्यवस्था में गणितीय स्कूल - अंग्रेज़ी राजनीतिक अर्थव्यवस्था में गणितीय स्कूल; यह। Der Politischen Okonomie में Mathematische Schule। राजनीति के लिए दिशा, XIX शताब्दी के दूसरे छमाही में उभरा बचत, रोगो के प्रतिनिधियों (एल। Varras, वी। Pareto, ओ jevons, आदि) दिया ... ... समाजशास्त्र का विश्वकोश

समाजशास्त्र में गणितीय स्कूल - अंग्रेज़ी समाजशास्त्र में गणितीय स्कूल; यह। Der Soziologie में Mathematische Schule। समाजशास्त्र में दिशा, जो एक्सएक्स शताब्दी के पहले भाग में उत्पन्न हुई, संस्थापक पीओ (ए। जिप्फ, ई। डोड, आदि) का मानना \u200b\u200bथा कि समाजशास्त्री, सिद्धांत स्तर तक पहुंचते हैं ... ... समाजशास्त्र का विश्वकोश

इमारतों और संरचनाओं का गणितीय मॉडल - इमारतों और संरचनाओं का गणितीय (कंप्यूटर) मॉडल - डिजाइनिंग, निर्माण और ... के कार्यों के एक परिसर को हल करते समय संख्यात्मक गणना के लिए एक निश्चित मौलिक योजना के रूप में इमारतों और संरचनाओं का प्रतिनिधित्व ... भवन निर्माण सामग्री के विश्वकोषीय नियम, परिभाषाएं और स्पष्टीकरण

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गणितीय विश्वकोष (5 किताबों का सेट) ,. गणितीय विश्वकोष गणित के सभी वर्गों में एक सुविधाजनक संदर्भ प्रकाशन है। एनसाइक्लोपीडिया का आधार सबसे महत्वपूर्ण दिशाओं पर लेख है। स्थान का सिद्धांत ...