विभिन्न चरणों में नई संख्याओं का गुणन। चरणों को कैसे गुणा करें, विभिन्न डिस्प्ले के साथ चरणों को कैसे गुणा करें

चरण सूत्रउच्चतम स्तर और असमानताओं में फोल्डिंग वायरस को छोटा और सरल बनाने की प्रक्रिया में विकोरिस्ट।

संख्या सीє एन- संख्या का चरण एअगर:

चरणों में संचालन.

1. चरण को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके प्रदर्शन बनते हैं:

पूर्वाह्न· ए एन = ए एम + एन.

2. विभिन्न स्तरों पर, एक ही आधार पर, उनके संकेतक प्रकट होते हैं:

3. 2 या अधिक गुणकों का चरण इन एक साथ गुणकों के चरणों के योग के समान है:

(एबीसी ...) एन = ए एन बी एन सी एन ...

4. शॉट चरण विभाजन चरण का एक पारंपरिक संस्करण है:

(ए/बी) एन = एन / बी एन।

5. कदम दर कदम आगे बढ़ना, कदमों के संकेतकों को गुणा करना:

(ए एम) एन = ए एम एन।

फ़ॉर्मूला त्वचा के लिए सही, सही और ग़लत है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन.

1. अनेक अंकुरों के निर्माण से जड़ें:

2. जड़ों के विभाज्य और हिस्सेदार के पारंपरिक संबंध के संबंध से जड़:

3. जब आप किसी संख्या में मूल जोड़ते हैं, तो उस संख्या में एक संख्या जोड़ें:

4. रूट इन का स्टेप कैसे बढ़ाएं एनएक बार और उसी समय घोषणा करने के लिए एन- चरण में रूट के नीचे एक संख्या होती है, तो रूट का मान नहीं बदलता है:

5. रूट के चरण को कैसे बदलें एनजड़ को एक बार और एक ही समय में खींचें एनमूलांक से वां चरण, तब मूल का मान नहीं बदलता है:

नकारात्मक प्रदर्शन के साथ कदम बढ़ाएं.एक गैर-सकारात्मक (लक्ष्य) संकेतक के साथ किसी दिए गए संख्या के स्तर की गणना एक संकेतक के साथ उसी संख्या के स्तर से विभाजित करके की जाती है, जो गैर-सकारात्मक संकेतक के पूर्ण मूल्य के बराबर है:

FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनआप केवल तभी विकोरिस्ट कर सकते हैं जब एम> एन, लेकिन और पर एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4: ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

शोब सूत्र पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनके लिए उचित हो गया म=एन, शून्य चरण की उपस्थिति आवश्यक है।

शून्य सूचक के साथ कदम.किसी भी संख्या का स्तर जो शून्य के बराबर नहीं है, शून्य सूचक के साथ एक के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

बन्दूक के प्रदर्शन के साथ एक कदम।ऑपरेटिंग नंबर दर्ज करने के लिए एचरणों पर एम/एनजड़ को हटाना जरूरी है एनवां चरण 3 एम-इस संख्या का चरण ए.

यदि आप दो चरणों को गुणा (या विभाजित) करते हैं, जिनके अलग-अलग आधार हैं, या एक ही संकेतक हैं, तो उनके आधारों को गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है, और चरण के संकेतक को गुणक (या एक भाजक और) के समान परिणाम दिया जाता है। एक विभक्त)।

औपचारिक गणितीय शब्दों में, ये नियम इस प्रकार लिखे गए हैं:
ए एम × बी एम = (एबी) एम
ए एम ÷ बी एम = (ए/बी) एम

जब b को विभाजित करने पर 0 नहीं हो सकता, तो एक अन्य नियम को मन b ≠ 0 के साथ पूरक करने की आवश्यकता होती है।

आवेदन करना:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

अब, इन विशिष्ट उदाहरणों के आधार पर, यह स्पष्ट है कि नवीनतम संकेतकों वाले स्तरों की शक्ति के नियम सत्य हैं। आइए इसका सामना करें, हम चरणों की शक्ति के बारे में नहीं जानते हैं:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

दरअसल, नियम बदलने पर जिन प्रजातियों को अस्वीकार कर दिया गया था, उन प्रजातियों को भी साथ मिल गया। इन नियमों को जानने से आप गणनाओं को सरल बना सकते हैं।

कृपया ध्यान दें कि अभिव्यक्ति 2×2×2×3×3×3 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3)।

इस अभिव्यक्ति का अपना आकार है और यह (2 × 3) 3. फिर 6 3 के समान है।

नए संकेतकों के साथ कदमों की जांच करने वाले अधिकारी प्रवेश द्वार पर विकोरस्टन हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, 18 2 का समय क्या होगा?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

उच्चतम अनुप्रयोगों के साथ स्तरों की शक्ति भी विजयी होती है:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

सीढ़ियों को मोड़ना और हटाना

जाहिर है, चरणों में संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है उनका पथ एक के बाद एक उनके चिन्हों के साथ मुड़ा हुआ था.

तो, a 3 और b 2 का योग є a 3 + b 2 है।
योग ए 3 - बी एन आई एच 5 -डी 4 є ए 3 - बी एन + एच 5 - डी 4।

गुणांकों वही चरण, वही परिवर्तनमुड़ सकता है या उठ सकता है।

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 के बराबर है।

यह भी स्पष्ट है कि आप दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a ले सकते हैं।

अले कदम विभिन्न परिवर्तनі विभिन्न चरण हालाँकि, सबसे महत्वपूर्ण हैं, अपनी सिलवटों को अपने ही संकेतों से मोड़ना उनकी गलती है।

तो, a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग है।

यह स्पष्ट है कि संख्या a का वर्ग और संख्या a का घन, a के दूसरे वर्ग के बराबर नहीं, बल्कि a के दूसरे घन के बराबर हैं।

योग a 3 b n और 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6।

Vіdnіmannyaचरण उसी क्रम में किए जाते हैं जिस क्रम में उन्हें जोड़ा गया था, सिवाय इसके कि परिवर्तन के कारण संकेत दिखाई देते हैं।

अबो:
2ए 4 - (-6ए 4) = 8ए 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ए - एच) 6 - 2(ए - एच) 6 = 3(ए - एच) 6

और कदम

चरणों में संख्याओं को गुणा किया जा सकता है, साथ ही अन्य मात्राओं को, गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना, एक के बाद एक लिखा जा सकता है।

इस प्रकार, a3 को b2 से गुणा करने का परिणाम a3b2 या aaabb के बराबर है।

अबो:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

शेष एप्लिकेशन में परिणाम नए के फोल्डिंग पथों का क्रम हो सकता है।
विराज अब देखेगा: ए 5 बी 5 वाई 3।

हम चरणों में समान संख्याओं (परिवर्तनीय) को जोड़ सकते हैं, ताकि यदि उनमें से दो को गुणा किया जाए, तो परिणाम चरणों में समान संख्या (परिवर्तनशील) हो, जो समान है सुमीडोडंकी के चरण.

तो, ए 2 .ए 3 = ए.ए.ए.ए = एएए = ए 5।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम में वही चरण है, जो कि योग के चरणों के योग 2 + 3 के बराबर है।

तो, ए एन ए एम = ए एम + एन।

n के लिए जितनी बार n स्तर होता है उतनी बार गुणक के रूप में लिया जाता है;

I a m को गुणक के रूप में उतनी बार लिया जाता है जितनी बार कोई प्राचीन अवस्था m होती है;

टॉम, समान बुनियादी बातों वाले एक चरण को डिस्प्ले चरणों को मोड़ने के तरीके से गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8। x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

अबो:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) को गुणा करें।
संस्करण: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) को गुणा करें।

यह नियम किसी भी स्तर को दर्शाने वाली संख्याओं के लिए भी सत्य है नकारात्मक.

1. तो, a-2.a-3 = a-5. इसे (1/aa) फॉर्म में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआआ.

2. हाँ. y-m = y-n-m.

3. ए-एन. हूँ = हूँ-एन.

जब a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 के समान होता है: तब

दो संख्याओं के योग और अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग और अंतर के बराबर होता है।

दो संख्याओं का योग और अंतर कैसे गुणा होता है? वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के समान है चौथीकदम।

तो, (ए - वाई)। (ए + वाई) = ए 2 - वाई 2.
(ए 2 - वाई 2)⋅(ए 2 + वाई 2) = ए 4 - वाई 4।
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

चरणों का विभाजन

संख्याओं को अन्य संख्याओं की तरह चरणों में विभाजित किया जा सकता है, एक दूसरे से चुना जा सकता है, या भिन्न के रूप में रखा जा सकता है।

इस प्रकार a 3 b को b 2 में विभाजित करके a 3 जोड़ दिया जाता है।

5 को 3 से विभाजित करके लिखना $\frac जैसा दिखता है $. एले त्से वन ए 2. अनेक संख्याएँ
ए +4, ए +3, ए +2, ए +1, ए 0, ए -1, ए -2, ए -3, ए -4।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और संकेतक अधिक महंगा है मतभेदसंख्याओं के विभाजनों का प्रदर्शन.

जब चरणों को एक ही आधार से विभाजित किया जाता है, तो उनके संकेतक प्रकट होते हैं।.

तो, y3: y2 = y3-2 = y1. टोबटो $\frac = y$.

मैं ए एन+1:ए = एन+1-1 = ए एन। तोबतो $फ्रैक = ए^एन$।

अबो:
y 2m: y m = y m
8ए एन+एम: 4ए एम = 2ए एन
12(बी + वाई) एन: 3(बी + वाई) 3 = 4(बी + वाई) एन-3

यह नियम संख्याओं के लिए भी सत्य है नकारात्मकचरणों का मान.
परिणाम को a-2 की तुलना में a-5 से a-3 में विभाजित किया गया है।
इसके अलावा, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 या $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

गुणन और उप-चरणों में पूरी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि ऐसे ऑपरेशन बीजगणित में व्यापक रूप से उपयोग किए जाएंगे।

संख्याओं को चरणों में स्थानांतरित करने के लिए बट्स को भिन्नों से कनेक्ट करें

1. $\frac$ प्रकार में चरणों का प्रदर्शन बदलें: $\frac$।

2. $\frac$ पर चरणों का प्रदर्शन बदलें। विषय: $\frac$ या 2x।

3. चरण a 2 /a 3 और a -3 /a -4 के संकेतक बदलें और उन्हें अंतिम चिह्न पर लाएं।
a 2 .a -4 є a -2 पहला नंबर है।
a 3 .a -3 є a 0 = 1, एक अन्य संख्या।
एक 3 .ए -4 є ए -1 बैक-ऑफ-द-लिफाफा नंबर बुक।
आख़िरकार, a -2 /a -1 और 1/a -1 .

4. चरण 2a 4 /5a 3 और 2 /a 4 के संकेतक बदलें और उन्हें अंतिम चिह्न पर लाएँ।
संस्करण: 2ए 3 /5ए 7 और 5ए 5 /5ए 7 या 2ए 3 /5ए 2 और 5/5ए 2।

5. (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3 गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a) को गुणा करें।

7. b4/a-2 को h-3/x और an/y-3 से गुणा करें।

8. a4/y3 को a3/y2 में विभाजित करें। सबमिट करें: a/y.

ताकत का मंच

हम अनुमान लगा सकते हैं कि इस पाठ में हमें क्या समझ आएगा शक्ति का स्तरप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ। आठवीं कक्षा के पाठों में तर्कसंगतता के स्तर और उनकी शक्ति पर चर्चा की जाएगी।

एक प्राकृतिक प्रदर्शन के साथ कदम कई महत्वपूर्ण प्राधिकारी हैं जो आपको कदमों के साथ बट्स में गणना को महसूस करने की अनुमति देते हैं।

प्राधिकरण संख्या 1
अतिरिक्त कदम

समान आधार वाले कई चरणों के साथ, आधार बिना किसी बदलाव के खो जाता है, और चरणों के संकेतक जुड़ जाते हैं।

a m · a n = a m + n, जहां "a" एक संख्या है, और "m", "n" एक प्राकृतिक संख्या है।

चरणों की यह शक्ति तीन या अधिक चरणों के समान है।

• विराज को माफ कर दो।
  बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
• कर दृश्यमान चरण पर हैं।
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• कर दृश्यमान चरण पर हैं।
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

आइए याद रखें कि नियुक्त अधिकारियों को नए आधारों के साथ कई चरणों से गुजरना पड़ा. उनकी तह के करीब पहुँचना असंभव है।

योग (3 3 + 3 2) को 3 5 से बदलना संभव नहीं है। यह समझने योग्य है, क्योंकि
पोराहुवती (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, और 3 5 = 243

प्राधिकरण क्रमांक 2
निजी कदम

समान आधारों से चरणों को विभाजित करते समय, आधार को बिना किसी बदलाव के हटा दिया जाता है, और विभाजित चरण के संकेतक से, हिस्सेदार के चरण का संकेतक उठाया जाता है।

• दृश्यमान अवस्था में निजी तौर पर रिकॉर्ड करें
  (2बी) 5: (2बी) 3 = (2बी) 5 - 3 = (2बी) 2
• गणना करें.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
बट. पौरुषता समान. निजी मंच की विकोरिस्टवो शक्ति।
3 8: टी = 3 4

संस्करण: टी = 3 4 = 81

प्राधिकारी संख्या 1 और संख्या 2 के साथ तालमेल बिठाकर, आप आसानी से व्युत्क्रम को समझ सकते हैं और गणना कर सकते हैं।

बट. विराज को माफ कर दो।
4 5 मी + 6 4 मी + 2: 4 4 मी + 3 = 4 5 मी + 6 + मी + 2: 4 4 मी + 3 = 4 6 मी + 8 - 4 मी - 3 = 4 2 मी + 5

बट. विराजा, विकोरिस्ट और शक्ति स्तर का महत्व जानें।

2 11 − 5 = 2 6 = 64

यह याद रखने योग्य है कि प्राधिकरण 2 के पास समान बुनियादी बातों वाले केवल आधे चरण ही थे।

आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यह उचित है, क्योंकि आप (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, और 4 1 = 4 की गणना कर सकते हैं

शक्ति #3
क्रमशः

जब एक कदम आगे बढ़ाया जाता है, तो कदम बिना बदलाव के हटा दिया जाता है, और कदम संकेतक कई गुना बढ़ जाते हैं।

(ए एन) एम = ए एन · एम, जहां "ए" एक संख्या है, और "एम", "एन" प्राकृतिक संख्याएं हैं।

हमारा अनुमान है कि आप अकेले में अंश दे सकते हैं। इसलिए, भिन्न को चरणों में कम करने के विषय पर, हम अगले पृष्ठ पर रिपोर्ट शुरू करते हैं।

चरणों को कैसे गुणा करें

चरण को कैसे गुणा करें? कौन से चरण बढ़ाए जा सकते हैं और कौन से नहीं? किसी संख्या को एक चरण से कैसे गुणा करें?

बीजगणित में, आप दो तरीकों से अतिरिक्त चरणों का पता लगा सकते हैं:

1) चूंकि कदम समर्थन द्वारा समर्थित हैं;

2) हालांकि, मंच पर प्रदर्शनकारियों का खतरा मंडरा रहा है।

एक ही नींव के साथ कई चरणों के साथ, नींव को अधिक मात्रा में हटाना आवश्यक है, और डिस्प्ले को मोड़ना आवश्यक है:

नए डिस्प्ले के साथ कई चरणों के साथ, बैक डिस्प्ले को बाहों द्वारा ले जाया जा सकता है:

आइए देखें कि विशिष्ट बट्स पर चरणों को कैसे गुणा किया जाए।

एक समय में एक ही चरण न लिखें, बल्कि यदि कई चरण हैं, तो लिखें:

चरणों की बढ़ती संख्या के साथ यह भिन्न हो सकता है। बस याद रखें कि आपको अक्षर से पहले गुणन चिह्न लिखना नहीं है:

विराज़स में, सीढ़ियाँ हमारे सामने समाप्त होती हैं।

यदि आपको किसी संख्या को एक चरण से गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले इसे एक चरण तक कम करें, और फिर गुणा करें:

समान बुनियादी बातों के साथ और चरण

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इस पाठ में समान मूल बातें वाले कई चरण हैं। हम तुरंत महत्वपूर्ण कदम का अनुमान लगा सकते हैं और निष्पक्षता और समानता के बारे में प्रमेय तैयार कर सकते हैं। . फिर हम अपना ध्यान विशिष्ट संख्याओं पर केंद्रित करेंगे और इसे सामने लाएंगे। हम विभिन्न कार्यों की सफलता के लिए एक प्रमेय भी बनाते हैं।

विषय: शक्ति के स्वाभाविक प्रदर्शन के साथ कदम

समान मूल बातें (सूत्र) के साथ चरणों का गुणन

1. मूल अर्थ

मुख्य उद्देश्य:

एन- मंच प्रदर्शन,

— एन-संख्या का एक चरण.

2. प्रमेय 1 का कथन

प्रमेय 1.किसी भी संख्या के लिए एजो भी प्राकृतिक हैं एनі कईर्ष्या उचित है:

अन्यथा: यक्षो ए- संख्या जो भी हो; एनі कप्राकृतिक संख्याएँ, फिर:

यहाँ नियम 1 है:

3. गुलाब उद्यान

विस्नोवोक:इसके साथ ही परिणामों ने प्रमेय संख्या 1 की सत्यता की पुष्टि की। आइए इसे किसी के लिए भी स्पष्ट रूप से उजागर करें एजो भी प्राकृतिक हैं एनі क।

4. प्रमेय 1 का प्रमाण

एक नंबर दिया गया ए- बे-याक; नंबर एनі क -प्राकृतिक। लाना:

प्रमाण को निर्दिष्ट स्तर पर रखा गया है।

5. अतिरिक्त प्रमेय 1 के लिए अनुप्रयोग समाधान

बट 1:मुझे अपने सामने एक कदम बढ़ाओ.

ऐसे अनुप्रयोगों के विकास के लिए, प्रमेय 1 तेज़ है।

और)

6. प्रमेय 1 की व्याख्या करना

यहाँ विकीरिस्तान है:

7. प्रमेय 1 की अतिरिक्त औपचारिकता के लिए अनुप्रयोग समाधान

8. अतिरिक्त प्रमेय 1 के लिए विभिन्न कार्य

बट 2:गणना करें (आप मुख्य चरणों की तालिका का उपयोग कर सकते हैं)।

ए) (मेज के पीछे)

बी)

बट 3:आधार 2 के साथ चरण लिखिए।

ए)

बट 4:संख्या का चिह्न:

, ए -अधिक नकारात्मक रूप से, -13 पर संकेतक चरण के टुकड़े अयुग्मित हैं।

बट 5:(·) को आधार के साथ संख्या की डिग्री से बदलें आर:

तबाही, बहुत कुछ।

9. थैली फ़िट

1. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनीमोविच ई.ए. बीजगणित 7 में टा. छठा संस्करण। एम: आत्मज्ञान। 2010 आर.

1. स्कूल सहायक (Dzherelo)।

1. दृश्य चरण पर आवेदन करें:

ए बी सी डी ई)

3. आधार 2 के साथ चरण लिखें:

4. संख्या का चिन्ह बताएं:

ए)

5. (·) को आधार वाली संख्या की डिग्री से बदलें आर:

ए) आर 4 · (·) = आर 15; बी) (·) · आर 5 = आर 6

नए डिस्प्ले के साथ समान चरणों का पुनरुत्पादन

इस पाठ में, हम नए डिस्प्ले के साथ चरणों में वृद्धि देखेंगे। नए प्रतिस्थापनों के साथ चरणों को गुणा और उप-विभाजित करने और चरणों में चरण जोड़ने के बारे में बुनियादी प्रमेयों को समझना आसान है। फिर हम नए संकेतकों के साथ गुणन और उप-चरणों के बारे में प्रमेय तैयार और प्रदर्शित करेंगे। और फिर सामान्य कार्यों में उनकी मदद बेहद कम होती है.

प्रमेयों के मुख्य अर्थों का अनुमान लगाना

यहाँ ए- आधार कदम,

— एन-संख्या का एक चरण.

प्रमेय 1.किसी भी संख्या के लिए एजो भी प्राकृतिक हैं एनі कईर्ष्या उचित है:

एक ही नींव के साथ कई चरणों के साथ, डिस्प्ले बनते हैं, नींव अपरिवर्तनीय हो जाती है।

प्रमेय 2.किसी भी संख्या के लिए एजो भी प्राकृतिक हैं एनі क,ऐसा है कि एन > कईर्ष्या उचित है:

नए आधारों से चरणों को विभाजित करते समय, डिस्प्ले हटा दिए जाते हैं, और आधार को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है।

प्रमेय 3.किसी भी संख्या के लिए एजो भी प्राकृतिक हैं एनі कईर्ष्या उचित है:

सूचीबद्ध सभी प्रमेय नए चरणों के साथ चरणों के बारे में हैं आधारों के साथ, किस पाठ में हम अगले चरण पर गौर करेंगे इतराने वाले.

नए डिस्प्ले के साथ अधिक चरणों पर लागू करें

आइए इन उदाहरणों पर एक नजर डालें:

हमने अगले चरण के लिए विराजी लिख लिया है।

विस्नोवोक:आप बट्स से सीख सकते हैं हालाँकि, इसे अभी भी समाप्त करने की आवश्यकता है। आइए हम प्रमेय तैयार करें और इसे औपचारिक तरीके से सिद्ध करें, ताकि किसी के लिए भी एі बीजो भी प्राकृतिक एन।

प्रमेय 4 का सूत्र और प्रमाण

किसी भी संख्या के लिए एі बीजो भी प्राकृतिक एनईर्ष्या उचित है:

खत्मप्रमेय 4 .

चरणों के पीछे:

हे भगवान, हम इसे आपके पास लाए हैं .

समान संकेतकों के साथ स्तर को गुणा करने के लिए, आधारों को गुणा करना और चरण के संकेतक को अपरिवर्तित बनाना पर्याप्त है।

प्रमेय 5 का सूत्र और प्रमाण

आइए नए संकेतकों के साथ उप-चरणों पर एक प्रमेय तैयार करें।

किसी भी संख्या के लिए एі बी () जो भी प्राकृतिक एनईर्ष्या उचित है:

खत्मप्रमेय 5 .

आइए निम्नलिखित चरण लिखें:

प्रमेयों को शब्दों में तैयार करना

खैर, वे इसे हमारे पास ले आये, स्को।

एक को समान संकेतकों के साथ एक चरण में विभाजित करने के लिए, एक आधार को दूसरे में विभाजित करना और चरण के संकेतक को अपरिवर्तित छोड़ देना पर्याप्त है।

अतिरिक्त प्रमेय 4 का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं का कनेक्शन

बट 1:आपको चरणों के लिए भुगतान करना होगा.

ऐसे अनुप्रयोगों के विकास के लिए, प्रमेय 4 तेज़ है।

आक्रामक बट को बेहतर बनाने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र अपना सकते हैं:

प्रमेय 4 की व्याख्या करना

प्रमेय 4 का उपयोग:

अतिरिक्त औपचारिक प्रमेय 4 पर आधारित अनुप्रयोग समाधान

विशिष्ट आदेशों का विस्तार

बट 2:सृजन का चरण लिखिए।

बट 3:सूचक 2 के साथ चरण के रूप में लिखें।

इसे गणना में लागू करें

बट 4:सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें.

2. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7. एम: वेंटाना-ग्राफ

3. कोल्यागिन यू.एम., तकाचोवा एम.वी., फेडोरोवा एन.ये. बीजगणित में टा 7. एम.: ज्ञानोदय। 2006 आर.

2. स्कूल सहायक (Dzherelo)।

1. अतिरिक्त चरणों के लिए आवेदन करें:

ए); बी); वी); जी);

2. निम्नलिखित चरण लिखिए:

3. सूचक 2 के साथ दृश्यमान चरण लिखें:

4. सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें.

"गुणा और उप-चरण" विषय पर गणित का पाठ

अलग करना:अंक शास्त्र

शैक्षणिक मेटा:

सीखना सीखोप्राकृतिक प्रदर्शन के साथ गुणन और उप-चरणों की शक्तियों को अलग करना; हर समय सत्ता के लिए खड़े रहना;

सीखना क्षमता छीन लेता हैकृपया विभिन्न आधारों वाले चरणों के परिवर्तन पर ध्यान दें और संयुक्त कार्यों के परिवर्तन पर ध्यान दें।

ज़वदन्न्या:

छात्रों के काम को इस तरह व्यवस्थित करें कि पहले से सीखी गई सामग्री दोहराई जाए;

विभिन्न प्रकार के अधिकारों की उपस्थिति में सृजन की निरंतरता सुनिश्चित करना;

परीक्षण के संबंध में विद्यार्थियों के आत्म-मूल्यांकन की समीक्षा आयोजित करें।

सक्रिय इकाइयाँ:प्राकृतिक प्रदर्शन के साथ महत्वपूर्ण मंच; घटक चरण; निर्दिष्ट भाग; गुणन का सुखद नियम.

I. वैज्ञानिक ज्ञान का उपयोग करके इच्छाशक्ति के प्रदर्शन का संगठन। (क्रोक 1)

क) ज्ञान अद्यतन करना:

2) एक प्राकृतिक संकेतक का उपयोग करके निर्दिष्ट चरण तैयार करें।

ए एन = ए ए ए ए … ए (एन बार)

बी के = बी बी बी ए… बी (के बार) लाइन को ग्राउंड करें।

द्वितीय. अद्यतन जानकारी के साथ शैक्षिक स्तर के स्व-मूल्यांकन का संगठन। (क्रोक 2)

स्व-सत्यापन परीक्षण: (दो विकल्पों के लिए व्यक्तिगत कार्य।)

ए1) दृश्य चरण पर ठोस 7 7 7 7 x x x लागू करें:

ए2) निर्माण चरण (-3) 3 x 2 देखते ही दें

ए3) गणना करें: -2 3 2 + 4 5 3

मैं कक्षा की तैयारी से पहले तदनुसार परीक्षण के लिए कार्यों की संख्या का चयन करता हूँ।

परीक्षण से पहले, मैं आपको स्व-जाँच के लिए एक कुंजी देता हूँ। मानदंड: ज़ालिक - ज़ालिक नहीं।

तृतीय. बुनियादी-व्यावहारिक शिक्षण (व्याख्यान 3) + पाठ 4. (छात्रों द्वारा स्वयं शक्ति तैयार करना)

गणना करें: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

क्षमा करें: ए 2 ए 20 =? बी 30 बी 10 बी 15 =?

प्रगति में, मुख्य कार्य 1) ​​और 2) छात्र समाधान प्रदर्शित करेंगे, और मैं, एक शिक्षक के रूप में, नए प्रतिस्थापन के साथ गुणा करते समय चरणों को सरल बनाने का तरीका खोजने के लिए कक्षा का आयोजन करूंगा।

पाठक: नए प्रतिस्थापनों के साथ गुणा करते समय चरणों को सरल बनाने का एक तरीका बताएं।

क्लस्टर पर एक रिकॉर्ड है:

पाठ का विषय तैयार किया गया है। और कदम.

पाठक: समान बुनियादी बातों के साथ चरणों के विभाजन के लिए एक नियम बनाएं।

अंकन: फर्श की जांच कैसे करें? ए 5: ए 3 =? क्या ए 2 ए 3 = ए 5

मैं आरेख - क्लस्टर की ओर मुड़ता हूं और एक अतिरिक्त प्रविष्टि जोड़ता हूं - .. विभाजित होने पर, विषय को पाठ में जोड़ा जाता है। ...और चरणों के नीचे.

चतुर्थ. पढ़ाई के बीच सीखने की जानकारी (न्यूनतम और अधिकतम के रूप में)।

पाठक: आज के पाठ के लिए न्यूनतम कार्य समान बुनियादी बातों के साथ गुणन और उप-चरणों की शक्ति को स्टोव करना सीखना है, और अधिकतम: गुणा और विभाजित को पूरी तरह से स्टोव करना है।

हम इसे अपनी वेबसाइट पर लिखते हैं : ए एम ए एन = ए एम + एन; ए एम: ए एन = ए एम-एन

वी. नई सामग्री के विकास का संगठन। (क्रोक 5)

ए) अप्रेंटिस के पीछे: नंबर 403 (ए, सी, डी) विभिन्न सूत्रों के साथ क्रम

नंबर 404 (ए, डी, एफ) एक स्वतंत्र रोबोट है, तो मैं आपसी सत्यापन का आयोजन करूंगा और चाबियां दूंगा।

ख) किस मूल्य के लिए ईर्ष्या उचित है? ए 16 पूर्वाह्न = ए 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

आदेश: फर्श के लिए समान बटस्टॉक्स खोजें।

ग) क्रमांक 417(ए), क्रमांक 418(ए) छात्रों के लिए पेस्ट: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; ए 16: ए 8 = ए2.

VI. नैदानिक ​​​​कार्य का संचालन करना (जो छात्र को, शिक्षक को नहीं, विषय का अध्ययन करने के लिए प्रोत्साहित करता है) (क्रोकस 6)

डायग्नोस्टिक रोबोट.

परीक्षा(चाबियाँ आटे के पीछे रखें)।

विकल्प कमांड: पता लगाएं कि x 15: x 3 को कैसे विभाजित करें; दृश्यमान अवस्था में अतिरिक्त चरण दीजिए (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; किसी भी m के लिए, ईर्ष्या a 16 है और m = a 32; h 0 का मान ज्ञात करें: h 2 पर h = 0.2; वायरस के मान की गणना करें (5 2 5 0): 5 2।

पाठ थैला. प्रतिबिंब।मैं कक्षा को दो समूहों में विभाजित करता हूँ।

समूह I के तर्क खोजें: अधिकारियों का ज्ञान उच्चतम स्तर पर है, और समूह II - तर्क जो कहते हैं कि अधिकारियों पर काबू पाना संभव है। सभी ऑडियो लाइनें श्रव्य हैं, और हम सुनने में सावधानी बरतते हैं। आगामी पाठों में, आप सांख्यिकीय डेटा प्रस्तुत कर सकते हैं और रूब्रिक को नाम दे सकते हैं "आप इसे अपने दिमाग में नहीं रख सकते!"

औसत व्यक्ति का जीवन में वजन 32 10 2 किलोग्राम होता है।

ततैया को 3.2 10 2 किमी की नॉन-स्टॉप उड़ान भरने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

जब कोई ढलान टूटती है, तो दरार लगभग 5 10 3 किमी/वर्ष की दर से चौड़ी होती है।

एक टोड अपने जीवन के दौरान 3 टन से अधिक मच्छर खाता है। विकोरिस्टिक रूबर्ब, किलो में लिखें।

सबसे लोकप्रिय समुद्री मछली मोथ (मोला मोला) है, जो प्रति अंडे देने पर लगभग 1.3 मिमी व्यास के साथ 300,000,000 अंडे देती है। अतिरिक्त चरण के लिए इस संख्या को लिख लें.

सातवीं. गृहकार्य।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। इन संख्याओं को फ़र्मेट संख्याएँ कहा जाता है।

पृ.19. क्रमांक 403, क्रमांक 408, क्रमांक 417

विकोरिस्टोवुवन साहित्य:

पिद्रुचनिक "बीजगणित-7", लेखक यू.एम. मकारिचेव, एन.जी. मिंड्युक और में।

7वीं कक्षा के लिए उपदेशात्मक सामग्री, एल.वी. कुज़नेत्सोवा, एल.आई. ज़्वाविच, एस.बी. सुवोरोव।

गणित का विश्वकोश.

पत्रिका "क्वांट"।

शक्ति स्तर, सूत्रीकरण, प्रमाण, अनुप्रयोग।

संख्या का चरण निर्धारित होने के बाद इस पर बात करना तर्कसंगत है अधिकार का स्तर. इस लेख में हम संख्या का मुख्य शक्ति स्तर देते हैं, जिसमें स्तर के सभी संभावित संकेतक शामिल हैं। यहां हम शक्ति के सभी स्तरों के साक्ष्य प्रदान करेंगे, और हम यह भी दिखाएंगे कि सबसे चरम अनुप्रयोगों में शक्ति से कैसे निपटें।

पृष्ठ पर नेविगेशन.

प्राकृतिक प्रदर्शनों से कदमों की शक्ति

प्राकृतिक स्वरूप के साथ उपर्युक्त चरण के पीछे, चरण ए एन एन मल्टीप्लायरों का जोड़ है, जिनकी खाल प्राचीन ए है। इस महत्व के आधार पर, साथ ही विकोरिस्ट भी सक्रिय संख्याओं को गुणा करने की शक्ति, आप अपने पैरों को ट्रिम और प्राइम कर सकते हैं प्राकृतिक प्रदर्शन के साथ शक्ति स्तर:

मुख्य शक्ति चरण a m · a n = a m + n, yogo zagalennaya a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k ;

समान बुनियादी बातों के साथ निजी चरण की शक्ति a m:a n =a m−n ;

शक्ति सृजन का सोपान है (a b) n = a n b n, उसका विस्तार (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n;

प्राकृतिक स्तर पर भाग की शक्ति (ए:बी) एन =ए एन:बी एन ;

कदम को ऊपर उठाते हुए (a m) n = a m · n, yogo zagalnennya (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 · n 2 · ... · n k ;

शून्य के साथ समतलन चरण:

• यदि a>0, तो किसी प्राकृत संख्या n के लिए an>0;
• यदि a = 0, तो a n = 0;
• 2·m >0 के लिए 2·m−1 n ;
• यदि m और n प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि m>n, तो 0m n के लिए, और a>0 के लिए असमानता a m>a n सत्य है।

कृपया आदरपूर्वक, निष्ठा के सभी रिकॉर्ड हैं समानमन का अर्थ समझने के लिए दाएँ और बाएँ दोनों भागों को आपस में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंश में मुख्य शक्ति a m·a n =a m+n at वायरस की क्षमाअक्सर दृश्य m + n = a m · a n के साथ स्थिर हो जाता है।

आइए अब उन पर करीब से नज़र डालें।

आइए अंततः समान बुनियादी बातों के साथ दो चरण बनाएं, जैसा कि वे इसे कहते हैं बुनियादी शक्ति स्तर: किसी भी सक्रिय संख्या a और किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए समानता a m·a n =a m+n सत्य है।

आइए शक्ति के बुनियादी स्तर तक पहुँचें। फॉर्म की नई मूल बातें के साथ चरणों के अतिरिक्त चरणों के प्राकृतिक प्रदर्शन के साथ उपर्युक्त चरण के लिए ए एम · ए एन को अतिरिक्त के रूप में लिखा जा सकता है . शक्ति की शक्तियों के कारण विराज के निषेधों का गुणन इस प्रकार लिखा जा सकता है , और यह ठोस प्राकृतिक सूचक m+n के साथ संख्या a का स्तर है, फिर a m+n। तो प्रमाण पूरा हो गया.

आइए बट को इंगित करें, जो मंच की मूल शक्ति की पुष्टि करता है। समान मूल बातें 2 और प्राकृतिक चरण 2 और 3 के साथ एक कदम उठाते हुए, चरण की मुख्य शक्ति को 2 2 2 3 =2 2+3 =2 5 के बराबर लिखा जा सकता है। आइए इसकी वैधता को सत्यापित करें, अभिव्यक्ति 2 2 · 2 3 और 2 5 के मान अब गणना योग्य हैं। प्रत्येक चरण को गुणा करने पर, हमें 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 और 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 प्राप्त हो सकते हैं। , इसलिए यदि हम समान मान पाते हैं, तो मान 2 2 · 2 3 = 25 सही है, और यह चरण की मुख्य शक्ति की पुष्टि करता है।

अधिकारियों के समन्वय से शक्ति का मुख्य स्तर समान बुनियादी और प्राकृतिक संकेतकों के साथ तीन या अधिक स्तरों के लाभ को गुणा कर सकता है। तो, प्राकृतिक संख्याओं n 1 , n 2 , …, n k की किसी भी संख्या k के लिए समानता a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k सत्य है।

उदाहरण के लिए, (2.1) 3 · (2.1) 3 · (2.1) 4 · (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 = (2.1) 17।

आप प्राकृतिक डिस्प्ले का उपयोग करके शक्ति के अगले स्तर तक जा सकते हैं - नए आधारों के साथ निजी स्तर की शक्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और पर्याप्त प्राकृतिक संख्या m और n के लिए जो m>n के दिमाग को संतुष्ट करती है, समानता a m उचित है: a n =a m−n।

सबसे पहले हमें इस शक्ति का प्रमाण देना होगा, हम सूत्र में अतिरिक्त दिमागों के प्रतिस्थापन पर चर्चा करेंगे। विभाजन को शून्य से विभाजित करने के लिए उमोवा a≠0 आवश्यक है, क्योंकि 0 n =0, और जब हम विभाजन को जानते हैं तो हमने सीखा है कि शून्य से विभाजित करना संभव नहीं है। उमोव को पेश किया जाना चाहिए ताकि हम मंच के प्राकृतिक संकेतकों की सीमाओं से आगे न जाएं। सच है, m>n के लिए चरण संकेतक a m−n एक प्राकृतिक संख्या है, अन्यथा यह या तो एक शून्य होगा (जिसकी गणना m−n के लिए की जाती है) या एक ऋणात्मक संख्या (जिसकी गणना m m−n·a n =a के लिए की जाती है) m−n) + n = a m। a m-n · a n = a m के समीकरण के साथ और गुणन और हेम के बीच संबंध खींचा जाता है, ताकि a m-n a m और a n का निजी चरण हो।

आइए बट को इंगित करें। समान मूल बातें π और प्राकृतिक संकेतक 5 और 2 के साथ दो कदम उठाते हुए, माना गया शक्ति स्तर ईर्ष्या दिखाता है π 5:π 2 =π 5−3 =π 3।

अब आइए एक नजर डालते हैं शक्ति सृजन का सोपान है: प्राकृतिक चरण n दो वास्तविक संख्याओं a और b के अतिरिक्त और चरणों a n और b n के अतिरिक्त, फिर (a b) n = a n b n।

दरअसल, उपरोक्त कदमों के पीछे एक प्राकृतिक प्रदर्शन है . अधिकारियों के रुख पर बाकी कहानी इस प्रकार फिर से लिखी जा सकती है: a n · b n से अधिक सामान्य क्या है।

आइए बट को इंगित करें: .

यह शक्ति तीन और बड़ी संख्या में गुणकों को शामिल करने के लिए विस्तारित होती है। फिर, k गुणकों के निर्माण के प्राकृतिक चरण n की शक्ति को (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n के रूप में लिखा जाता है।

स्पष्ट होने के लिए, आइए इस शक्ति को अंत से दिखाएं। चरण 7 में तीन गुणक जोड़ने के लिए, आप ऐसा कर सकते हैं।

बिजली आ रही है वस्तु के रूप में निजी की शक्ति: वास्तविक संख्या ए और बी का हिस्सा, प्राकृतिक चरण एन में बी≠0 निजी चरण ए एन और बी एन के समान है, फिर, (ए:बी) एन =ए एन:बी एन।

सबूत किया जा सकता है, विकोरिस्टा और फॉरवर्ड पावर। तो (ए: बी) एन · बी एन = ((ए: बी) · बी) एन = ए एन, और समानता से (ए: बी) एन · बी एन = ए एन पता लगाएं कि (ए: बी) एन बी पर एन के तहत निजी है एन।

आइए विशिष्ट संख्याओं का उपयोग करके इस घात को लिखें: .

अब आवाज उठाई पावर अपग्रेडिंग चरण दर चरण: किसी भी सक्रिय संख्या ए और किसी भी प्राकृतिक संख्या एम और एन के लिए चरण एन पर चरण ए एम संकेतक एम एन के साथ संख्या ए का पिछला चरण है, फिर (ए एम) एन = ए एम एन।

उदाहरण के लिए, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6।

कदम की मिठास का सबूत है ईर्ष्या का ऐसा नश्तर: .

विचारित शक्ति का विस्तार मंच, मंच, मंच आदि द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या p, q, r और s के लिए समानता सत्य है . अधिक स्पष्टता के लिए, आइए विशिष्ट संख्याओं का उपयोग करें: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10।

प्राकृतिक प्रदर्शन के साथ सीढ़ियों के समतलीकरण के लिए अधिकारियों पर भरोसा करना असंभव हो गया।

आइए हम अंततः शून्य के बराबर होने और प्राकृतिक संकेतक के साथ समानता का मूल्य साबित करें।

सतह को प्राइम किया गया है ताकि किसी भी a>0 के लिए a n >0 हो।

दो धनात्मक संख्याओं का योग एक धनात्मक संख्या है, जिसे मान से गुणा किया जाता है। यह तथ्य और गुणन की शक्तियां हमें यह पुष्टि करने की अनुमति देती हैं कि किसी भी सकारात्मक संख्या को गुणा करने का परिणाम भी एक सकारात्मक संख्या होगी। और मूल्यों के पीछे प्राकृतिक संकेतक n के साथ संख्या a का चरण n गुणकों का योग है, जिनमें से खाल a से संबंधित हैं। यह बिक्री हमें यह पुष्टि करने की अनुमति देती है कि किसी भी सकारात्मक प्रतिनिधित्व से एक चरण एक सकारात्मक संख्या है। प्रदत्त शक्ति को देखते हुए 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 i .

यह स्पष्ट है कि a = 0 पर कोई प्राकृतिक n नहीं है, स्तर a n शून्य है। हाँ, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0। उदाहरण के लिए, 03 = 0 और 0762 = 0।

चलिए नकारात्मक चरण की ओर बढ़ते हैं।

आइए इस पर एक नजर डालें, यदि चरण का संकेतक एक छोटी संख्या है, तो यह 2m के रूप में महत्वपूर्ण है, जहां m प्राकृतिक है। टोडी . नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का पालन करते हुए, a·a के निर्माण से त्वचा संख्याओं a और a के मॉड्यूल का पारंपरिक जोड़ है, जो एक सकारात्मक संख्या भी है। ओह ठीक है, आपका जीवन सकारात्मक होगा और चरण 2·मी. नुकीला बट: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

पता लगाएँ कि यदि चरण a का आधार एक ऋणात्मक संख्या है, और चरण का सूचक एक विषम संख्या 2 m−1 है, तो . सभी धनात्मक संख्याओं के साथ एक बनाते हैं, इन धनात्मक संख्याओं का योग भी धनात्मक होता है, और खोई हुई ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इस घात (−5) के कारण 3 17 n n दाएँ असमानताओं के बाएँ और दाएँ भागों n का योग है अशांति की शक्ति उचित है और असमानता को मन में लाया जाता है। उदाहरण के लिए, इस शक्ति के माध्यम से, निष्पक्ष असमानता 3 7 7 i .

प्राकृतिक प्रदर्शन के साथ अधिकारियों के अतिबीमा से बाकी कदमों को नीचे लाना असंभव हो गया। मुझे इसे तैयार करने दीजिए. प्राकृतिक संकेतकों और समान सकारात्मक आधारों वाले दो चरणों में से, एक से कम, उस चरण का बड़ा होना, जिसका संकेतक छोटा हो; और प्राकृतिक संकेतकों और समान बुनियादी बातों के साथ दो चरणों से, एक से अधिक, उस चरण से अधिक, जो संकेतक अधिक है। इस जानकारी की पुष्टि होने तक हम आगे बढ़ते हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि s m>n i 0m n । जिसके लिए हम अंतर a m -a n लिखते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं। भुजाओं के पीछे a n लगाने के बाद अंतर दर्ज किया गया, ताकि आप a n · (a m−n −1) देख सकें। निष्कासन tvir एक धनात्मक संख्या a n और एक ऋणात्मक संख्या a m−n −1 के योग के रूप में ऋणात्मक है (a n एक धनात्मक संख्या के प्राकृतिक चरण के रूप में धनात्मक है, और अंतर a m−n −1 ऋणात्मक है, इसलिए m−n> आउटपुट माइंड m>n के माध्यम से 0, ट्रेस करें, ताकि 0m−n एक से कम हो)। खैर, ए एम - ए एन एम एन, क्या बाहर लाने की जरूरत है। बट के लिए, आइए इसे सही जगह पर रखें।

मैं अपने मित्र को कुछ कड़वाहट बताना भूल गया। आइए हम सिद्ध करें कि m>n और a>1 से यह सत्य है कि a m >a n। भुजाओं के पीछे a n लगाने के बाद a m -a n का अंतर a n · (a m−n −1) जैसा दिखता है। यह सकारात्मक है, क्योंकि जब a>1 चरण a n एक सकारात्मक संख्या है, और अंतर a m−n −1 है तो एक सकारात्मक संख्या है, क्योंकि m−n>0 कोब माइंड के कारण होता है, और जब a>1 चरण a m−n होता है एक से बड़ा है. खैर, a m -a n >0 और a m >a n , जिसे पूरा करने की आवश्यकता है। शक्ति और असमानता का चित्रण 3 7 >3 2।

संपूर्ण प्रदर्शनों से चरणों की शक्ति

चूँकि पूर्ण सकारात्मक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, तो पूर्ण सकारात्मक संकेतकों वाले चरणों की सभी शक्तियाँ प्राकृतिक संकेतकों वाले चरणों की शक्तियों का बिल्कुल अनुसरण करती हैं, अतिरंजित और अग्रभूमि में लाई जाती हैं।

संपूर्ण नकारात्मक संकेतक वाले चरण, साथ ही शून्य संकेतक वाले चरण की गणना इस तरह से की गई थी कि प्राकृतिक संकेतक वाले सभी चरण, जो ईर्ष्या द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, निष्पक्ष शक्ति से वंचित थे। इसलिए, यह सारी शक्ति शून्य स्तर के संकेतकों और नकारात्मक संकेतकों दोनों के लिए उचित है, इस मामले में, निश्चित रूप से, चरणों को शून्य से प्रतिस्थापित करना।

इसके अलावा, किसी भी वास्तविक और गैर-शून्य संख्या ए और बी के साथ-साथ किसी भी पूर्ण संख्या एम और एन के लिए, निम्नलिखित सत्य है संपूर्ण डिस्प्ले से स्तरों की शक्ति:

• ए एम · ए एन = ए एम + एन;
• ए एम:ए एन =ए एम−एन;
• (ए बी) एन = ए एन बी एन ;
• (ए:बी) एन = ए एन: बी एन;
• (ए एम) एन = ए एम एन;
• चूँकि n एक धनात्मक पूर्ण संख्या है, a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, और a n n i a −n >b −n ;
• चूँकि m और n पूर्ण संख्याएँ हैं, और m>n, तो 0m n पर, और a>1 पर असमानता a m>a n बराबर हो जाती है।

जब a=0, चरण a m और a n संवेदनशील होते हैं यदि i m और n धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं, तो प्राकृतिक संख्याएँ। खैर, यदि a = 0 है, तो शक्ति की शक्ति भी सही ढंग से दर्ज की जाती है, और संख्याएँ m और n सकारात्मक लक्ष्य हैं।

इन अधिकारियों के पास त्वचा लाना मुश्किल है, जिसके लिए प्राकृतिक और संपूर्ण प्रदर्शन के साथ-साथ सक्रिय संख्याओं के साथ कार्यों के अधिकारियों के साथ पहला कदम उठाना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि मंच का शक्ति स्तर पूर्ण सकारात्मक संख्याओं और सभी गैर-सकारात्मक संख्याओं दोनों के बराबर है। जिसके लिए यह दिखाना आवश्यक है कि p शून्य या एक प्राकृतिक संख्या है और q शून्य या एक प्राकृतिक संख्या है, तो उचित समानता (ap) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p ) −q =a p·(−q) और (a −p) −q =a (−p)·(−q) . ज़्रोबिमो त्से.

सकारात्मक p i q के लिए ईर्ष्या (ap) q =a p·q पहले बिंदु पर दिया गया है। यदि p = 0, तो हमारे पास (a 0) q = 1 q = 1 और a 0 · q = a 0 = 1, सितारे (a 0) q = a 0 · q हैं। इसी प्रकार, यदि q = 0, तो (ap) 0 = 1 और a p · 0 = a 0 = 1, तारे (ap) 0 = a p · 0. यदि i p=0 और q=0, तो (a 0) 0 =1 0 =1 और a 0·0 =a 0 =1, सितारे (a 0) 0 =a 0·0।

अब हम देख सकते हैं कि (a −p) q =a (−p)·q . उपरोक्त के पीछे संपूर्ण नकारात्मक प्रदर्शन वाला एक कदम है . मैजेमो स्टेप पर निजी क्षेत्र के पीछे . टुकड़े 1 पी =1·1·…·1=1 मैं , फिर . मानों के पीछे शेष अभिव्यक्ति a −(p·q) रूप का एक चरण है, जिसे गुणन नियमों के अनुसार a (−p)·q के रूप में लिखा जा सकता है।

समान .

І .

इसी सिद्धांत के पीछे ईर्ष्या के रूप में दर्ज पूरे शो के साथ अधिकारियों के निर्णय को एक स्तर पर लाया जा सकता है।

रिकॉर्ड किए गए अधिकारियों के मामले में, वे असमानता के प्रमाण पर भरोसा करते हैं a −n >b −n, जो किसी भी नकारात्मक −n और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए सच है, जिसके लिए मन a . हम इस असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच अंतर को लिख और संपादित कर सकते हैं: . वाशरूम के पीछे शार्ड्स ए n n, फिर, b n −a n >0 . a n · b n का योग भी धनात्मक संख्याओं a n i b n के योग के समान ही धनात्मक है। टोडी ओट्रिमनी ड्रिब पॉजिटिव याक प्राइवेट पॉजिटिव नंबर बी एन -ए एन आई ए एन · बी एन। खैर, सितारे a −n >b −n , क्या लाने की जरूरत है।

संपूर्ण डिस्प्ले से चरणों की शेष शक्ति को उसी तरह समझाया गया है जैसे प्राकृतिक डिस्प्ले से चरणों की समान शक्ति को समझाया गया है।

तर्कसंगत प्रदर्शन के साथ शक्ति का स्तर

अलग-अलग डिस्प्ले वाले स्टेप को हमारे द्वारा नामित किया गया था, जिससे पूरे डिस्प्ले के साथ स्टेप की शक्ति का विस्तार होता है। दूसरे शब्दों में, शॉटगन डिस्प्ले वाले चरणों में संपूर्ण डिस्प्ले वाले चरणों के समान शक्तियाँ होती हैं। और अपने आप से:

1. समान बुनियादी बातों के साथ कदम बढ़ाने की शक्ति a>0 के लिए, और यदि यह है, तो a≥0 के लिए;
2. नए आधारों के साथ निजी स्तर की शक्ति जब a>0;
3. अन्य लोकों में सृजन की शक्ति a>0 के लिए b>0 और i है, फिर a≥0 के लिए यह (या) b≥0 है;
4. एक अलग स्तर पर निजी की शक्ति a>0 और b>0 के लिए, और यदि , तो a≥0 और b>0 के लिए;
5. शक्ति स्तर कदम a>0 के लिए, और यदि यह है, तो a≥0 के लिए;
6. समान तर्कसंगत संकेतकों के साथ चरणों की शक्ति बराबर करना: किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी, ए के लिए 0 असमानता ए पी पी सत्य है, और पी पी > बी पी के लिए;
7. तर्कसंगत संकेतकों और समान आधारों के साथ चरणों का शक्ति समीकरण: तर्कसंगत संख्या पी और क्यू के लिए, 0p क्यू के लिए पी>क्यू, और ए>0 के लिए - असमानता एपी>एक्यू।

पी संरेखण = "जस्टिफ़ाई"> शॉट डिस्प्ले के साथ चरणों की शक्तियों का प्रमाण शॉट डिस्प्ले के साथ निर्दिष्ट चरण पर, एनवें चरण की अंकगणितीय जड़ की शक्तियों पर और पूरे चिह्न के साथ चरण की शक्तियों पर आधारित है . आइए इसे साबित करें.

सीढ़ियों के पीछे बन्दूक प्रदर्शित करने वाली एक सीढ़ी है . अंकगणितीय मूल की शक्ति हमें ऐसी समानताएँ लिखने की अनुमति देती है। इसके अलावा, पूरे डिस्प्ले के साथ विकोरिस्ट और पावर स्टेज, हम शॉटगन डिस्प्ले के साथ महत्वपूर्ण स्टेज के पीछे के संकेतों को हटा सकते हैं। , और हटाए गए चरण के प्रदर्शन को इस प्रकार पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है: . तो प्रमाण पूरा हो गया.

स्तरों की शक्ति को शॉटगन डिस्प्ले का उपयोग करके बिल्कुल समान तरीके से समझाया गया है:


अन्य समानताएँ समान सिद्धांतों के अनुसार अपनाई जाती हैं:


हम तब तक आगे बढ़ते हैं जब तक आक्रामक विशेषताओं की पुष्टि नहीं हो जाती। आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी सकारात्मक a i b, a के लिए 0 असमानता ए पी पी सत्य है, और पी पी > बी पी के लिए। आइए हम परिमेय संख्या p को m/n के रूप में लिखें, जहाँ m एक पूर्णांक संख्या है, और n एक प्राकृतिक संख्या है। पी 0 के दिमाग एम 0 के दिमाग के बराबर होंगे। m>0 ta am m के लिए। चूंकि जड़ों के पीछे असमानता है, और टुकड़े ए और बी सकारात्मक संख्याएं हैं, तो शॉट डिस्प्ले के साथ महत्वपूर्ण चरण के आधार पर, असमानता को फिर से एपीपी के रूप में लिखा जा सकता है।

इसी प्रकार, जब m m >b m , तारे, तब, i a p >b p ।

अधिकारियों के अत्यधिक बीमा के कारण शेष को पूरा करना असंभव था। आइए हम साबित करें कि तर्कसंगत संख्याएं p i q , p>q 0p q के लिए, और a>0 के लिए - असमानता a p >a q । अब से हम परिमेय संख्याओं p और q को अंतिम चिह्न पर ला सकते हैं, आइए हम साधारण भिन्नों को हटा दें जहाँ m 1 और m 2 पूर्ण संख्याएँ हैं, और n एक प्राकृतिक संख्या है। समान संकेतकों के साथ समान अंशों को बराबर करने के नियमों के अनुसार, जिसका मन p>q मन m 1 >m 2 के समान होगा। इसलिए, 0m 1 m 2 पर समान मूल बातें और प्राकृतिक संकेतकों के साथ चरणों के संरेखण के लिए, और a>1 के लिए - असमानता a m 1 >a m 2। मूल निवासियों की सत्ता के पीछे की इन असमानताओं को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: і . और तर्कसंगत प्रदर्शन के साथ उच्चतम स्तर आपको असमानताओं और स्पष्ट रूप से आगे बढ़ने की अनुमति देता है। अवशिष्ट मान सावधानी से निर्धारित किया जाता है: p>q के लिए 0pq है, और a>0 के लिए - असमानता एपी>aq है।

अपरिमेय डिस्प्ले से पावर स्तर

चूंकि अपरिमेय संकेतकों वाले स्तर की पहचान की जाती है, इसलिए यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि तर्कसंगत संकेतकों वाले स्तरों की सारी शक्ति छीन ली गई है। तो किसी भी a>0, b>0 और अपरिमेय संख्या p और q के लिए, निम्नलिखित मान्य हैं: तर्कहीन डिस्प्ले से शक्ति का स्तर:

1. ए पी · ए क्यू = ए पी + क्यू;
2. ए पी: ए क्यू = ए पी-क्यू;
3. (ए बी) पी = ए पी बी ;
4. (ए:बी) पी = एपी: बी पी;
5. (ए पी) क्यू = ए पी · क्यू;
6. किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी के लिए, ए 0 असमानता ए पी पी सत्य है, और पी पी > बी पी के लिए;
7. अपरिमेय संख्याओं के लिए p i q, p>q के लिए 0p q, और a>0 के लिए - असमानता a p>a q।

एक नई संरचना विकसित करना संभव है, ताकि a>0 पर किसी भी सक्रिय संकेतक p i q वाले चरण में समान शक्ति हो।

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यदि आपको प्रति चरण एक विशिष्ट संख्या जानने की आवश्यकता है, तो आप शीघ्रता से जान सकते हैं। और अब हम वापस रिपोर्ट करते हैं शक्ति का स्तर.

घातीय संख्याएँवे महान संभावनाओं को प्रकट करते हैं, वे हमें जोड़कर गुणा करने की अनुमति देते हैं, और गुणा किए बिना अधिक आसानी से जोड़ने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, हमें 16 को 64 से गुणा करना होगा। इन दो संख्याओं का गुणन 1024 के बराबर है। 16 4x4 के बराबर है, और 64 4x4x4 के बराबर है। फिर 16 बटा 64 = 4x4x4x4x4, जो 1024 से भी अधिक महंगा है।

संख्या 16 भी 2x2x2x2 की तरह दिख सकती है, और 64 2x2x2x2x2x2 की तरह दिख सकती है, और जब गुणा किया जाता है, तो हम फिर से 1024 घटाते हैं।

और अब विकोरी नियम। 16=4 2, ची 2 4, 64=4 3, ची 2 6, उस घंटे से पहले 1024=6 4 =4 5, ची 2 10।

खैर, हमारा कार्य अलग तरीके से लिखा जा सकता है: 4 2 x4 3 =4 5 या 2 4 x2 6 =2 10 और हम तुरंत 1024 घटा देते हैं।

हम कई समान एप्लिकेशन बना सकते हैं और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि संख्याओं को चरणों में गुणा करें और उन्हें कम करें फोल्डिंग डिस्प्ले चरण, या प्रदर्शक, समझ में आता है, दिमाग के लिए कि उन्होंने प्रतिद्वंद्वियों को प्रतिस्थापित कर दिया।

खैर, हम बिना किसी हिचकिचाहट के तुरंत कह सकते हैं कि 2 4 x2 2 x2 14 =2 20।

यह नियम तब भी सत्य है जब संख्याओं को चरणों में विभाजित किया जाता है, लेकिन इस मामले में विस्तारक घटक विभाजक घातांक से प्राप्त होता है. खैर, 2 5:2 3 =2 2, जो अभाज्य संख्याओं में 32:8 = 4 के बराबर है, फिर 2 2। आइए पाउचों का सारांश प्रस्तुत करें:

a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n जहां m i n पूर्ण संख्याएं हैं।

पहली नज़र में आपको आश्चर्य हो सकता है कि क्यों चरणों में संख्याओं का गुणन और विभाजनयह बहुत आसान नहीं है, भले ही आपको पहले संख्या को घातीय रूप में निकालने की आवश्यकता हो। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप संख्या 8 और 16 को इस रूप में देखते हैं, या 23 और 24 को, लेकिन आप संख्या 7 और 17 के साथ कैसे काम कर सकते हैं? या इन स्थितियों से कैसे निपटा जाए, यदि संख्या को घातीय रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, लेकिन संख्याओं के घातीय रूपों का प्रतिनिधित्व बहुत भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, 8 × 9 2 3 x 3 2 के बराबर है और इस मामले में हम घातांक की गणना नहीं कर सकते। न तो 2 5 और न ही 3 5 कोई उत्तर है, और उत्तर भी इन दो संख्याओं के बीच के अंतराल में नहीं है।

तो आप इस पद्धति से खिलवाड़ करने में क्यों रुचि रखते हैं? बिना किसी निंदा के खड़े रहो. यह विशेष रूप से जटिल और श्रम-गहन गणनाओं में बहुत लाभ देता है।

जाहिर है, चरणों में संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है उनका पथ एक के बाद एक उनके चिन्हों के साथ मुड़ा हुआ था.

तो, a 3 और b 2 का योग є a 3 + b 2 है।
योग a3-bn और h5-d4 є a3-bn+h5-d4।

गुणांकों वही चरण, वही परिवर्तनमुड़ सकता है या उठ सकता है।

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 के बराबर है।

यह भी स्पष्ट है कि आप दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a ले सकते हैं।

अले कदम विभिन्न परिवर्तनі विभिन्न चरण हालाँकि, सबसे महत्वपूर्ण हैं, अपनी सिलवटों को अपने ही संकेतों से मोड़ना उनकी गलती है।

तो, a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग है।

यह स्पष्ट है कि संख्या a का वर्ग और संख्या a का घन, a के दूसरे वर्ग के बराबर नहीं, बल्कि a के दूसरे घन के बराबर हैं।

योग a 3 b n और 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6।

Vіdnіmannyaचरण उसी क्रम में किए जाते हैं जिस क्रम में उन्हें जोड़ा गया था, सिवाय इसके कि परिवर्तन के कारण संकेत दिखाई देते हैं।

अबो:
2ए 4 - (-6ए 4) = 8ए 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ए - एच) 6 - 2(ए - एच) 6 = 3(ए - एच) 6

और कदम

चरणों में संख्याओं को गुणा किया जा सकता है, साथ ही अन्य मात्राओं को, गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना, एक के बाद एक लिखा जा सकता है।

इस प्रकार, a3 को b2 से गुणा करने का परिणाम a3b2 या aaabb के बराबर है।

अबो:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

शेष एप्लिकेशन में परिणाम नए के फोल्डिंग पथों का क्रम हो सकता है।
विराज अब देखेगा: ए 5 बी 5 वाई 3।

हम चरणों में समान संख्याओं को जोड़ सकते हैं, ताकि यदि उनमें से दो को गुणा किया जाए, तो परिणाम चरणों में समान संख्या प्राप्त हो, जो समान है सुमीडोडंकी के चरण.

तो, ए 2 .ए 3 = ए.ए.ए.ए = एएए = ए 5।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम में वही चरण है, जो कि योग के चरणों के योग 2 + 3 के बराबर है।

तो, ए एन ए एम = ए एम + एन।

n के लिए जितनी बार n स्तर होता है उतनी बार गुणक के रूप में लिया जाता है;

I a m को गुणक के रूप में उतनी बार लिया जाता है जितनी बार कोई प्राचीन अवस्था m होती है;

टॉम, समान बुनियादी बातों वाले एक चरण को डिस्प्ले चरणों को मोड़ने के तरीके से गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8। x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

अबो:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) को गुणा करें।
संस्करण: x 4 - y 4.
(x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1) को गुणा करें।

यह नियम किसी भी स्तर को दर्शाने वाली संख्याओं के लिए भी सत्य है नकारात्मक.

1. तो, a-2.a-3 = a-5. इसे (1/aa) फॉर्म में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआआ.

2. हाँ. y-m = y-n-m.

3. ए-एन. हूँ = हूँ-एन.

जब a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 के समान होता है: तब

दो संख्याओं के योग और अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग और अंतर के बराबर होता है।

दो संख्याओं का योग और अंतर कैसे गुणा होता है? वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के समान है चौथीकदम।

तो, (ए - वाई)। (ए + वाई) = ए2 - वाई2.
(ए 2 - वाई 2)⋅(ए 2 + वाई 2) = ए 4 - वाई 4।
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

चरणों का विभाजन

संख्याओं को अन्य संख्याओं की तरह चरणों में विभाजित किया जा सकता है, एक दूसरे से चुना जा सकता है, या भिन्न के रूप में रखा जा सकता है।

इस प्रकार a 3 b को b 2 में विभाजित करके a 3 जोड़ दिया जाता है।

अबो:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$frac (d cdot (a - h + y)^3) ((a - h + y)^3) = d $

5 को 3 से विभाजित करके लिखना $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। एले त्से वन ए 2. अनेक संख्याएँ
ए +4, ए +3, ए +2, ए +1, ए 0, ए -1, ए -2, ए -3, ए -4।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और संकेतक अधिक महंगा है मतभेदसंख्याओं के विभाजनों का प्रदर्शन.

जब चरणों को एक ही आधार से विभाजित किया जाता है, तो उनके संकेतक प्रकट होते हैं।.

तो, y3: y2 = y3-2 = y1. तोबतो $\frac(yyy)(yy) = y$.

मैं ए एन+1:ए = एन+1-1 = ए एन। तोबतो $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

अबो:
y 2m: y m = y m
8ए एन+एम: 4ए एम = 2ए एन
12(बी + वाई) एन: 3(बी + वाई) 3 = 4(बी + वाई) एन-3

यह नियम संख्याओं के लिए भी सत्य है नकारात्मकचरणों का मान.
परिणाम को a-2 की तुलना में a-5 से a-3 में विभाजित किया गया है।
इसके अलावा, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aAA).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aAAa) = \frac (1) (एए)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 या $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

गुणन और उप-चरणों में पूरी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि ऐसे ऑपरेशन बीजगणित में व्यापक रूप से उपयोग किए जाएंगे।

संख्याओं को चरणों में स्थानांतरित करने के लिए बट्स को भिन्नों से कनेक्ट करें

1. चरण संकेतक बदलें $\frac(5a^4)(3a^2)$ प्रकार: $\frac(5a^2)(3)$.

2. चरण संकेतक $\frac(6x^6)(3x^5)$ बदलें। उदाहरण: $\frac(2x)(1)$ या 2x.

3. चरण a 2 /a 3 और a -3 /a -4 के संकेतक बदलें और उन्हें अंतिम चिह्न पर लाएं।
a 2 .a -4 є a -2 पहला नंबर है।
a 3 .a -3 є a 0 = 1, एक अन्य संख्या।
एक 3 .ए -4 є ए -1 बैक-ऑफ-द-लिफाफा नंबर बुक।
आख़िरकार, a -2 /a -1 और 1/a -1 .

4. चरण 2a 4 /5a 3 और 2 /a 4 के संकेतक बदलें और उन्हें अंतिम चिह्न पर लाएँ।
संस्करण: 2ए 3 /5ए 7 और 5ए 5 /5ए 7 या 2ए 3 /5ए 2 और 5/5ए 2।

5. (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3 गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a) को गुणा करें।

7. b4/a-2 को h-3/x और an/y-3 से गुणा करें।

8. a4/y3 को a3/y2 में विभाजित करें। सबमिट करें: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से विभाजित करें।