यह साबित करने के लिए कि संख्या सीमा है। तर्कसंगत संख्या, परिभाषा, उदाहरण

इस लेख में हम सीखना शुरू कर देंगे परिमेय संख्या। यहां हम तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा देंगे, हम आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे और तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण देंगे। उसके बाद, हम इस बात पर ध्यान केंद्रित करेंगे कि यह संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

नेविगेटिंग पेज।

तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण

इस बिंदु पर हम तर्कसंगत संख्याओं की कई परिभाषाएं देंगे। शब्द में अंतर के बावजूद, इन सभी परिभाषाओं का एक अर्थ है: तर्कसंगत संख्या पूर्णांक और आंशिक संख्याओं के साथ संयुक्त होती है, जैसे पूर्णांक उनके विपरीत संख्याओं और संख्या शून्य के विपरीत प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते हैं। दूसरे शब्दों में, तर्कसंगत संख्याएं पूरे और आंशिक संख्याओं को सामान्यीकृत करती हैं।

चलो एस द्वारा शुरू करते हैं। तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषाएंजो सबसे स्वाभाविक रूप से माना जाता है।

आवाज वाली परिभाषा से यह इस प्रकार है कि तर्कसंगत संख्या है:

• किसी को प्राकृतिक संख्या एन दरअसल, आप सामान्य अंश के रूप में किसी भी प्राकृतिक संख्या की कल्पना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 3 \u003d 3/1।
• किसी भी पूर्णांक, विशेष रूप से, शून्य की संख्या। वास्तव में, किसी भी पूर्णांक को सकारात्मक साधारण अंश, या नकारात्मक सामान्य अंश या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 26 \u003d 26/1 ,.
• कोई साधारण अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)। यह तर्कसंगत संख्याओं के निर्धारण द्वारा सीधे अनुमोदित है।
• कोई मिश्रित संख्या। दरअसल, आप हमेशा एक गलत सामान्य अंश के रूप में मिश्रित संख्या की कल्पना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, और।
• कोई भी सीमित दशमलव अंश या अंतहीन आवधिक अंश। यह इस तथ्य के कारण है कि निर्दिष्ट दशमलव अंशों का अनुवाद सामान्य अंशों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, और 0, (3) \u003d 1/3।

यह भी स्पष्ट है कि कोई भी अंतहीन गैर-आवधिक दशमलव अंश एक तर्कसंगत संख्या नहीं है, क्योंकि इसे सामान्य अंश के रूप में दर्शाया नहीं जा सकता है।

अब हम आसानी से ला सकते हैं तर्कसंगत संख्या के उदाहरण। संख्या 4, 903, 100 321 तर्कसंगत संख्याएं हैं, क्योंकि वे प्राकृतिक हैं। पूर्णांक 58, -72, 0, -833 333 333 भी तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण हैं। साधारण अंश 4/9, 99/3, तर्कसंगत संख्याओं के भी उदाहरण हैं। तर्कसंगत संख्या संख्याएं हैं।

उपर्युक्त उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि सकारात्मक और नकारात्मक तर्कसंगत संख्या भी हैं, और शून्य की तर्कसंगत संख्या न तो सकारात्मक या नकारात्मक है।

ऊपर आवाज वाली तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा पूरी तरह से तैयार की जा सकती है।

परिभाषा।

परिमेय संख्या वे उन संख्याओं को कॉल करते हैं जिन्हें फ्रैक्शंस जेड / एन के रूप में लिखा जा सकता है, जहां जेड एक पूर्णांक है, और एन एक प्राकृतिक संख्या है।

हम साबित करते हैं कि तर्कसंगत संख्याओं की यह परिभाषा पिछली परिभाषा के बराबर है। हम जानते हैं कि अंश के संकेत के रूप में अंश पर विचार करना संभव है, फिर पूर्णांक के विभाजन के गुणों से और पूर्णांक के विभाजन के नियम निम्नलिखित समानता के न्याय का पालन करते हैं। इस प्रकार, यह सबूत है।

हम इस परिभाषा के आधार पर तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण देते हैं। संख्या -5, 0, 3, और तर्कसंगत संख्याएं हैं, क्योंकि उन्हें एक पूर्णांक संख्या और प्रजातियों के प्राकृतिक संप्रदाय के साथ भिन्नता के रूप में दर्ज किया जा सकता है और तदनुसार।

निम्नलिखित शब्दों में तर्कसंगत संख्याओं का निर्धारण दिया जा सकता है।

परिभाषा।

परिमेय संख्या - ये संख्याएं हैं जिन्हें एक सीमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्ज किया जा सकता है।

यह परिभाषा पहली परिभाषा के बराबर है, क्योंकि प्रत्येक सामान्य अंश एक सीमित या आवधिक दशमलव अंश और पीठ से मेल खाता है, और किसी भी पूर्णांक की तुलना कॉमा के बाद शून्य के साथ दशमलव अंश से तुलना की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 5, 0, -13 तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण हैं, क्योंकि उन्हें निम्नलिखित दशमलव अंश 5.0, 0.0, -13.0, 0.8 और -7, (18) के रूप में लिखा जा सकता है।

आइए निम्नलिखित कथनों द्वारा इस अनुच्छेद के सिद्धांत को समाप्त करें:

• पूरे और आंशिक संख्या (सकारात्मक और नकारात्मक) कई तर्कसंगत संख्याओं का गठन;
• प्रत्येक तर्कसंगत संख्या को पूरे नंबर और प्राकृतिक संप्रदाय के साथ एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, और प्रत्येक अंश कुछ तर्कसंगत संख्या है;
• प्रत्येक तर्कसंगत संख्या को सीमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, और प्रत्येक अंश कुछ तर्कसंगत संख्या है।

क्या यह संख्या तर्कसंगत है?

पिछले अनुच्छेद में, हमने पाया कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, कोई भी पूर्णांक, कोई भी सामान्य अंश, किसी भी मिश्रित संख्या, किसी भी सीमित दशमलव अंश, साथ ही किसी भी आवधिक दशमलव अंश एक तर्कसंगत संख्या है। यह ज्ञान हमें विभिन्न प्रकार की लिखित संख्याओं से तर्कसंगत संख्याओं को "पहचानने" की अनुमति देता है।

लेकिन यदि संख्या कुछ, या, आदि के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, तो यह संख्या तर्कसंगत है यदि यह संख्या तर्कसंगत है? कई मामलों में, इसका जवाब देना बहुत मुश्किल है। हम विचार के कदम के कुछ निर्देश निर्दिष्ट करते हैं।

यदि संख्या एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में निर्दिष्ट की जाती है, जिसमें केवल तर्कसंगत संख्या और अंकगणितीय कार्रवाई (+, -, और :) के निशान होते हैं, तो इस अभिव्यक्ति का मूल्य एक तर्कसंगत संख्या है। यह इस प्रकार है कि तर्कसंगत संख्याओं के साथ कार्य कैसे निर्धारित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में सभी कार्यों को करने के बाद, हम एक तर्कसंगत संख्या 18 प्राप्त करते हैं।

कभी-कभी, अभिव्यक्ति को सरल बनाने और अधिक जटिल प्रजातियों के बाद, यह निर्धारित करना संभव है कि निर्दिष्ट संख्या तर्कसंगत रूप से है या नहीं।

चलो आगे बढ़ते हैं। संख्या 2 एक तर्कसंगत संख्या है, क्योंकि कोई भी प्राकृतिक संख्या तर्कसंगत है। संख्या के बारे में क्या? क्या यह तर्कसंगत है? यह पता चला है कि कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है, यह एक तर्कहीन संख्या है (ग्रेड 8 के लिए बीजगणित पर पाठ्यपुस्तक में इस तथ्य का सबूत दिया गया है, जो साहित्य सूची में नीचे संकेत दिया गया है)। यह भी साबित हुआ है कि एक प्राकृतिक संख्या का एक वर्ग रूट केवल उन मामलों में एक तर्कसंगत संख्या है जहां संख्या रूट के तहत कुछ प्राकृतिक संख्या का एक पूर्ण वर्ग है। उदाहरण के लिए, दोनों - तर्कसंगत संख्या, 81 \u003d 9 2 और 1,024 \u003d 32 2 के बाद, और संख्याएं और तर्कसंगत नहीं हैं, क्योंकि संख्या 7 और 199 प्राकृतिक संख्याओं के पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

और संख्या तर्कसंगत है या नहीं? इस मामले में, यह नोटिक आसान है, इसलिए, एक दिया गया संख्या तर्कसंगत है। संख्या तर्कसंगत है? यह साबित कर दिया गया है कि एक पूर्णांक से के-वें डिग्री की जड़ केवल एक तर्कसंगत संख्या है जब रूट संकेत के तहत संख्या कुछ पूर्णांक की डिग्री है। इसलिए, यह एक तर्कसंगत संख्या नहीं है, क्योंकि कोई पूर्णांक नहीं है, जिसमें से पांचवीं डिग्री 121 के बराबर है।

विरोधी गंदा विधि हमें यह साबित करने की अनुमति देती है कि कुछ कारणों पर कुछ संख्याओं के लॉगरिदम तर्कसंगत संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, हम साबित करते हैं कि यह एक तर्कसंगत संख्या नहीं है।

मान लीजिए कि बुरा, यानी, यह माना जाता है कि - एक तर्कसंगत संख्या और इसे सामान्य अंश एम / एन के रूप में लिखा जा सकता है। फिर निम्नलिखित समानताएं दें :. अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि बाएं हिस्से में यह है विषम संख्या 5 एन, और सही भाग में - यहां तक \u200b\u200bकि संख्या 2 मीटर। नतीजतन, हमारी धारणा गलत है, इसलिए, एक तर्कसंगत संख्या नहीं है।

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता या तर्कहीनता को स्पष्ट करते समय टिकाऊ निष्कर्षों से बचना चाहिए।

उदाहरण के लिए, यह तुरंत तर्क नहीं देना चाहिए कि तर्कहीन संख्याओं का उत्पाद π और ई एक तर्कहीन संख्या है, यह "जैसा कि स्पष्ट" है, लेकिन साबित नहीं हुआ है। साथ ही, सवाल उठता है: "और काम क्यों एक तर्कसंगत संख्या होगी"? और क्यों नहीं, क्योंकि यह तर्कहीन संख्याओं का उदाहरण देना संभव है, जिसका उत्पाद एक तर्कसंगत संख्या देता है :.

यह भी अज्ञात है कि संख्याएं और कई अन्य संख्याएं तर्कसंगत हैं या ऐसा नहीं हैं। उदाहरण के लिए, तर्कहीन संख्याएं हैं, इसकी तर्कहीन डिग्री एक तर्कसंगत संख्या है। उदाहरण के लिए, हम प्रकार की डिग्री देते हैं, डिग्री का आधार और संकेतक तर्कसंगत संख्या नहीं है, लेकिन 3 एक तर्कसंगत संख्या है।

ग्रंथसूची।

• गणित। ग्रेड 6: अध्ययन। सामान्य शिक्षा के लिए। संस्थान / [एन। हां। VILENKIN एट अल।] - 22 वें एड।, अधिनियम। - एम।: Mnemozina, 2008. - 288 पी।: Il। आईएसबीएन 978-5-346-00897-2।
• बीजगणित: अध्ययन करते हैं। 8 सीएल के लिए। सामान्य शिक्षा। संस्थान / [यू। एन। मकाराचेव, एन जी माइंड्युक, के। I. Neshkov, S. B. Suvorov]; ईडी। एस ए Teleikovsky। - 16 वें एड। - एम।: ज्ञान, 2008. - 271 पी। : इल। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• गुसेव वी ए, मॉर्डकोविच ए जी। गणित (तकनीकी स्कूलों में आवेदकों के लिए लाभ): अध्ययन। लाभ। - एम।; अधिक। एसएचके।, 1 9 84.-351 पी।, आईएल।

अनुदेश

हालांकि, बस्ट काफी लंबा हो सकता है अगर, कहें, आपको 136827658235479371 प्रकार की संख्या की जांच करने की आवश्यकता है। इसलिए, नियमों पर ध्यान देने योग्य है जो कंप्यूटिंग के समय को काफी कम कर सकते हैं।

यदि संख्या समग्र है, यानी यह सरल कारकों का एक काम है, तो इन कारकों में से कम से कम एक होना चाहिए, जो निर्दिष्ट संख्या से कम वर्ग रूट होगा। आखिरकार, दो का काम, जिनमें से प्रत्येक कुछ एक्स से अधिक वर्ग रूट है, जानबूझकर एक्स से अधिक होगा, और ये दो संख्याएं इसके विभाजक नहीं हो सकती हैं।

इसलिए, यहां तक \u200b\u200bकि एक साधारण इंटरैक्टिंग के साथ, आप केवल उन पूर्णांकों के परीक्षण को सीमित कर सकते हैं जो निर्दिष्ट संख्या से वर्गमूल से अधिक नहीं होते हैं, बड़े पक्ष में गोल होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 157 की जांच, आप केवल 2 से 13 तक संभावित कारकों के माध्यम से जाते हैं।

यदि आपके पास कंप्यूटर नहीं है, और सादगी की संख्या को मैन्युअल रूप से जांचना पड़ता है, तो सरल और स्पष्ट नियम बचाव के लिए आते हैं। सबसे अधिक आपको पहले से ही ज्ञात ज्ञान को जानने में मदद करेगा साधारण संख्या। आखिरकार, यदि आप अपने साधारण कारकों पर विभाज्यता की जांच कर सकते हैं तो अलग-अलग विभाज्यता की जांच करने का कोई मतलब नहीं है।

परिभाषा द्वारा एक भी संख्या सरल नहीं हो सकती है, क्योंकि यह 2 से विभाजित है, इसलिए, यदि संख्या का अंतिम अंक भी है, तो यह स्पष्ट रूप से समग्र है।

5 से विभाजित संख्या हमेशा पांच या शून्य के साथ समाप्त हो जाएगी। संख्या के अंतिम अंक पर एक नज़र उनकी मदद करेगा।

यदि संख्या 3 से विभाजित है, तो इसकी संख्याओं का योग भी आवश्यक रूप से 3. द्वारा विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 136827658235479371 की संख्या 1 + 3 + 6 + 8 + 2 + 7 + 6 + 5 + 8 है + 2 + 3 + 5 + 4 + 7 + 9 + 3 + 7 + 1 \u003d 87. इस संख्या को अवशेष के बिना 3 से विभाजित किया गया है: 87 \u003d 2 9 * 3। नतीजतन, हमारी संख्या भी 3 में विभाजित है और समग्र है।

यह 11 पर विभाज्यता के संकेत के लिए भी बहुत आसान है। यह संख्या की सभी विषम संख्याओं के योग से भी आवश्यक है, इसकी संख्याओं के योग को घटाने के लिए। समानता और विषमता को अंत से चालान द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो इकाइयों से है। यदि परिणामी अंतर 11 से विभाजित किया गया है, तो पूरे निर्दिष्ट संख्या में भी विभाजित किया गया है। उदाहरण के लिए, संख्या 25765628457563657823833 दें। इसके भी अंकों का योग 8 + 2 + 7 + 6 + 6 + 7 + 4 + 2 + 5 + 7 + 2 \u003d 56 है। विषम की राशि: 3 + 3 + 8 + 5 + 3 + 5 + 5 + 8 + 6 + 6 + 5 \u003d 57. उनके बीच का अंतर 1. के बराबर है। यह संख्या 11 से विभाजित नहीं है, और इसलिए 11 किसी दिए गए नंबर का विभाजक नहीं है।

उसी तरह संख्या 7 और 13 के विभाजन की जांच करें। हम शीर्ष तीन पर संख्या को तोड़ते हैं, अंत से शुरू होते हैं (इसलिए इसे पढ़ने की सुविधा के लिए प्रिंटिंग रिकॉर्ड में करें)। संख्या 2576562845756365782383 2 576 562 845 756 365 782 383 में बदल जाती है। विषम स्थानों पर खड़े संख्याओं का योग और यहां तक \u200b\u200bकि संख्याओं की मात्रा को घटा देता है। इस मामले में, आप प्राप्त करेंगे (383 + 365 + 845 + 576) - (782 + 756 + 562 + 2) \u003d 67. यह संख्या 7, न ही 13 में विभाजित नहीं है, और इसलिए निर्दिष्ट संख्या के विभाजक नहीं हैं।

ध्यान दें

अन्य सरल संख्याओं पर विभाज्यता के संकेत अधिक जटिल हैं, और ज्यादातर मामलों में निर्दिष्ट विभाजक को मैन्युअल रूप से निर्दिष्ट संख्या को विभाजित करने का प्रयास करना आसान है।

स्रोत:

• प्राथमिक गणित - विभाज्यता के संकेत

एक निश्चित मूल्य तक प्राइम नंबरों की एक सूची खोजने के लिए सबसे प्रसिद्ध तरीके - यह एक चाकू इरैटोस्फन, सुन्दुरम लैटून और एटकिना का कोट है। यह जांचने के लिए कि यह संख्या सरल है कि सादगी परीक्षण हैं।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर, पेपर शीट और पेंसिल (हैंडल)

अनुदेश

विधि 1. Resheto eratosthene।
इस विधि के मुताबिक, एक निश्चित मूल्य X से अधिक सरल नहीं ढूंढने के लिए, एक पंक्ति में सभी पूर्णांक पंक्ति में लिखना आवश्यक है। संख्या 2 को पहले नंबर के रूप में लें। मैं उन सभी संख्याओं को सूचीबद्ध करता हूं जो सभी संख्याओं को विभाजित करते हैं। इसके बाद निम्नलिखित को पार करें, पार न करें, और सूची से बाहर निकलें जो हमारे द्वारा ली गई संख्या से विभाजित सभी संख्याएं हैं। और फिर हर बार जब हम अगली गैर-क्रॉस की संख्या ले लेंगे और सूची से सभी संख्याओं को पार करेंगे, तो हमारे द्वारा ली गई संख्या को विभाजित करते हैं। और तब तक जब तक हमारे द्वारा चुनी गई संख्या x / 2 से अधिक नहीं बनती है। शेष शेष सूचीबद्ध सरल से बाहर नहीं हैं

विधि 2. Swelto सुंदरम।
1 से एन तक कई प्राकृतिक संख्याओं से, सभी प्रकार के प्रकार को बाहर रखा गया है
एक्स + वाई + 2 एच,
जहां इंडेक्स एक्स (बड़ा नहीं है) सभी प्राकृतिक मूल्यों को चलाएं जिनके लिए एक्स + वाई + 2 एच एन से अधिक नहीं है, अर्थात् अर्थ x \u003d 1, 2, ..., ((2 एन + 1) 1 / 2) / 2 और x \u003d y, x + 1, ..., (एन-एक्स) / (2x + 1) यू। फिर शेष संख्याओं में से प्रत्येक को 2 और 1 पर गुणा किया जाता है। परिणामी अनुक्रम सभी विषम सरल संख्या एक से 2n + 1 तक है।

विधि 3. resheto atkin।
एटकिना समाधान एक्स के दिए गए मूल्य के लिए सभी प्राइम नंबरों को खोजने के लिए एक जटिल आधुनिक एल्गोरिदम है। एल्गोरिदम का मुख्य सार इन वर्ग रूपों में एक विषम संख्या के अभ्यावेदन के साथ पूर्णांक के रूप में सरल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने में होता है। एल्गोरिदम का एक अलग चरण संख्याओं को समाप्त करता है, 5 से एक्स तक की सीमा में प्राइम नंबरों के कई वर्गों को समाप्त करता है।

सादगी का परीक्षण।
सादगी के परीक्षण - ये एल्गोरिदम हैं जो आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देते हैं कि कोई विशिष्ट संख्या x सरल है या नहीं।
सबसे आसान, लेकिन समय लेने वाले परीक्षणों में से एक - यह डिवाइडर का एक बस्ट है। इसमें सभी पूर्णांकों को एक्स से 2 से वर्ग रूट तक और इन संख्याओं में से प्रत्येक को विभाजित करने से अवशेषों की गणना करने में शामिल होता है। यदि संख्या x प्रति संख्या (1 और कम x से अधिक) के विभाजन से अवशेष शून्य है, तो संख्या x समग्र है। यदि यह पता चला है कि यूनिट और स्वयं को छोड़कर, किसी भी संख्या में अवशेष के बिना संख्या x को कम नहीं किया जा सकता है, तो संख्या x सरल है।
इसके अलावा, संख्या की सादगी का परीक्षण करने के लिए बड़ी संख्या में अन्य परीक्षण भी हैं। इनमें से अधिकतर परीक्षण संभाव्य और क्रिप्टोग्राफी में उपयोग किए जाते हैं। एकमात्र परीक्षण जो प्रतिक्रिया की प्राप्ति (परीक्षण ak) की प्राप्ति की गारंटी देता है, गणना में बहुत जटिल है, जो इसे अभ्यास करना मुश्किल बनाता है

यहां हम अंतिम अनुक्रम सीमा की परिभाषा को देखेंगे। अनंत तक अनुक्रम अभिसरण के मामले को "असीमित बड़े अनुक्रम की निश्चितता" पृष्ठ पर माना जाता है।

परिभाषा

(x n)यदि किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए ε > 0 Ε के आधार पर एक प्राकृतिक संख्या n ε है, जो सभी प्राकृतिक n\u003e n ε के लिए असमानता की जाती है
| एक्स एन - ए |< ε .
अनुक्रम सीमा निम्नानुसार है:
.
या कि।

हम असमानता को बदलते हैं:
;
;
.

एक खुला अंतराल (ए - ε, a + ε) कहा जाता है ε - पड़ोस बिंदु ए.

अनुक्रम जिसमें एक सीमा है अभिसरण अनुक्रम। यह भी कहें कि अनुक्रम एकाग्र ए। एक अनुक्रम जिसमें सीमा नहीं है उसे कहा जाता है अपसारी.

यह परिभाषा से आता है कि यदि अनुक्रम में सीमा ए है, जो ε - बिंदु का पड़ोस जिसे हमने चुना नहीं था, यह विदेश में हो सकता है, केवल अनुक्रम तत्वों की एक सीमित संख्या, या किसी भी (खाली सेट)। और किसी भी ε पड़ोस में तत्वों की एक अनंत संख्या होती है। वास्तव में, एक निश्चित संख्या ε निर्दिष्ट करके, हम, इस प्रकार एक संख्या है। तो परिभाषा के अनुसार संख्याओं के साथ अनुक्रम के सभी तत्व, ε में हैं - पड़ोस बिंदु ए। पहले तत्व कहीं भी हो सकते हैं। यही है, बाहर ε - परिवेश कोई और तत्व नहीं हो सकता है - यानी एक सीमित संख्या है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि अंतर शून्य के लिए प्रयास करने के लिए बाध्य नहीं है, यानी, हर समय कम करने के लिए। यह शून्य नीरस के लिए प्रयास कर सकता है: यह स्थानीय मैक्सिमा होने, घट सकता है, फिर कमी कर सकता है। हालांकि, इन मैक्सिमा, बढ़ती एन के साथ, शून्य के लिए प्रयास करना चाहिए (संभवतः एकरसता से नहीं)।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके, सीमा निर्धारण को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
(1) .

निर्धारण कि संख्या ए सीमा नहीं है

अब विपरीत बयान पर विचार करें कि संख्या ए अनुक्रम सीमा नहीं है।

संख्या ए अनुक्रम सीमा नहीं है यदि ऐसा है कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए ऐसा प्राकृतिक एम है \u003e एन।, क्या भ
.

हम इस कथन को तार्किक वर्णों का उपयोग करके लिखते हैं।
(2) .

वक्तव्य संख्या A अनुक्रम सीमा नहीं है, मतलब कि
आप इस तरह के ε - बिंदु ए का पड़ोस चुन सकते हैं, जिसके बाहर अनुक्रम के तत्वों की अनंत संख्या स्थित होगी.

उदाहरण पर विचार करें। एक सामान्य तत्व के साथ अनुक्रम दें
(3)
बिंदु के किसी भी पड़ोस में एक अनंत संख्या में आइटम होते हैं। हालांकि, यह बिंदु अनुक्रम सीमा नहीं है, क्योंकि इस बिंदु के किसी भी पड़ोस में एक अनंत संख्या में आइटम भी शामिल हैं। Ε - के साथ बिंदु का पड़ोस \u003d 1 । यह एक अंतराल होगा (-1, +1) । पहले के अलावा सभी तत्व, यहां तक \u200b\u200bकि एन के साथ भी इस अंतराल से संबंधित हैं। लेकिन अजीब एन वाले सभी तत्व इस अंतराल के बाहर हैं, क्योंकि वे असमानता एक्स एन को संतुष्ट करते हैं > 2 । चूंकि विषम तत्वों की संख्या असीम रूप से होती है, इसलिए तत्वों की अंतहीन संख्या चयनित पड़ोस के बाहर होगी। इसलिए, बिंदु एक अनुक्रम सीमा नहीं है।

अब हम इसे दिखाएंगे, सख्ती से अनुमोदन (2) का पालन करते हैं। बिंदु अनुक्रम सीमा (3) नहीं है, क्योंकि ऐसा है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक एन के लिए, एक अजीब है जिसके लिए असमानता की जाती है
.

यह भी दिखाया जा सकता है कि किसी भी बिंदु ए इस अनुक्रम की सीमा नहीं हो सकती है। हम हमेशा इस तरह के ε - बिंदु ए के पड़ोस का चयन कर सकते हैं, जिसमें कोई बिंदु 0, या बिंदु 2 नहीं है और फिर अनुक्रम तत्वों की अनंत संख्या चयनित पड़ोस के बाहर होगी।

समतुल्य परिभाषा

यदि आप ε की अवधारणा का विस्तार करते हैं तो आप अनुक्रम सीमा का समतुल्य निर्धारण दे सकते हैं। हम एक समतुल्य परिभाषा प्राप्त करेंगे, यदि इसमें, ε - पड़ोस के बजाय, बिंदु ए के किसी भी पड़ोस दिखाई देंगे।

बिंदु के पड़ोस का निर्धारण
पड़ोस प्वाइंट ए इसे इस बिंदु वाले किसी भी खुले अंतराल कहा जाता है। गणितीय परिवेश निर्धारित किया जाता है: जहां ε 1 और ε। 2 - मनमानी सकारात्मक संख्या।

फिर सीमा परिभाषा निम्नानुसार होगी।

अनुक्रम सीमा का समतुल्य निर्धारण
संख्या A को अनुक्रम सीमा कहा जाता है यदि किसी पड़ोस के लिए ऐसा प्राकृतिक संख्या एन है कि संख्याओं के साथ अनुक्रम के सभी तत्व इस पड़ोस से संबंधित हैं।

यह परिभाषा तैनात रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

संख्या A को अनुक्रम सीमा कहा जाता है यदि किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए और एक प्राकृतिक संख्या n है, इसके आधार पर और उस असमानता को सभी प्राकृतिक के लिए किया जाता है
.

परिभाषाओं के समतुल्यता का प्रमाण

हम साबित करते हैं कि अनुक्रम सीमा की दो परिभाषा समतुल्य हैं।

पहली परिभाषा के अनुसार संख्या को अनुक्रम सीमा होने दें। इसका मतलब है कि एक समारोह है, इसलिए किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए ε असमानताएं की जाती हैं:
(4) पर।

हम दिखाते हैं कि संख्या ए अनुक्रम सीमा और दूसरी परिभाषा पर है। यही है, हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि ऐसा कोई कार्य है, इसलिए किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए ε 1 और ε। 2 असमानताओं का प्रदर्शन किया जाता है:
(5) पर।

हमें दो सकारात्मक संख्याएं हैं: ε 1 और ε। 2 । और उनमें से सबसे छोटा होने दें :. फिर; ; । हम इसका उपयोग (5) में करते हैं:
.
लेकिन असमानताओं पर प्रदर्शन किया जाता है। फिर असमानताओं (5) पर प्रदर्शन किया जाता है।

यही है, हमें ऐसा एक समारोह मिला जिस पर असमानता (5) किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए किया जाता है ε 1 और ε। 2 .
पहला भाग साबित हुआ है।

अब संख्या को दूसरी परिभाषा का अनुक्रम दें। इसका मतलब है कि एक समारोह है, इसलिए किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए ε 1 और ε। 2 असमानताओं का प्रदर्शन किया जाता है:
(5) पर।

हम दिखाते हैं कि संख्या ए अनुक्रम सीमा और पहली परिभाषा है। ऐसा करने के लिए, आपको डालने की जरूरत है। फिर असमानताओं का प्रदर्शन किया जाता है:
.
यह पहली परिभाषा के अनुरूप है।
परिभाषाओं की समानता साबित हुई है।

उदाहरण

यहां हम कुछ उदाहरण देखेंगे जिनमें यह साबित करने के लिए आवश्यक है कि निर्दिष्ट संख्या ए अनुक्रम सीमा है। साथ ही, मनमाने ढंग से सकारात्मक संख्या ε सेट करना आवश्यक है और ε से फ़ंक्शन एन निर्धारित करना आवश्यक है जैसे कि असमानता सभी के लिए की जाती है।

उदाहरण 1।

साबित करो।

(1) .
हमारे मामले में ;
.

.
हम असमानताओं के गुणों का उपयोग करते हैं। फिर और फिर
.

.
फिर
पर।
इसका मतलब है कि संख्या निर्दिष्ट अनुक्रम की सीमा है:
.

उदाहरण 2।

साबित करने के लिए अनुक्रम सीमा के निर्धारण का उपयोग करना
.

हम अनुक्रम सीमा के निर्धारण को पीछे हटाना:
(1) .
हमारे मामले में , ;
.

हम सकारात्मक संख्याएं पेश करते हैं और:
.
हम असमानताओं के गुणों का उपयोग करते हैं। फिर और फिर
.

यही है, किसी भी सकारात्मक के लिए, हम किसी भी प्राकृतिक संख्या, अधिक या बराबर ले सकते हैं:
.
फिर
पर।
.

उदाहरण 3।

.

हम पदनाम पेश करते हैं।
हम अंतर को बदलते हैं:
.
प्राकृतिक एन के लिए = 1, 2, 3, ... हमारे पास है:
.

हम अनुक्रम सीमा के निर्धारण को पीछे हटाना:
(1) .
हम सकारात्मक संख्याएं पेश करते हैं और:
.
फिर और फिर
.

यही है, किसी भी सकारात्मक के लिए, हम किसी भी प्राकृतिक संख्या, अधिक या बराबर ले सकते हैं:
.
जिसमें
पर।
इसका मतलब है कि संख्या अनुक्रम सीमा है:
.

उदाहरण 4।

साबित करने के लिए अनुक्रम सीमा के निर्धारण का उपयोग करना
.

हम अनुक्रम सीमा के निर्धारण को पीछे हटाना:
(1) .
हमारे मामले में , ;
.

हम सकारात्मक संख्याएं पेश करते हैं और:
.
फिर और फिर
.

यही है, किसी भी सकारात्मक के लिए, हम किसी भी प्राकृतिक संख्या, अधिक या बराबर ले सकते हैं:
.
फिर
पर।
इसका मतलब है कि संख्या अनुक्रम सीमा है:
.

संदर्भ:
एलडी Kudryavtsev। गणितीय विश्लेषण का कोर्स। वॉल्यूम 1. मॉस्को, 2003।
से। मी। निकोलस्की। गणितीय विश्लेषण का कोर्स। वॉल्यूम 1. मॉस्को, 1 9 83।