सरल संख्या। समग्र संख्या

इलिया का जवाब सही है, लेकिन बहुत विस्तृत नहीं है। 18 वीं शताब्दी में, वैसे भी, इकाई को अभी भी एक साधारण संख्या माना गया था। उदाहरण के लिए, यूलर और गोल्डबैक के रूप में इस तरह के बड़े गणित। सात सहस्राब्दी कार्यों में से एक द्वारा गोल्डबैक गोल्डबाक की परिकल्पना है। प्रारंभिक फॉर्मूलेशन में, यह तर्क दिया जाता है कि कोई अन्य संख्या दो प्रमुख संख्याओं के योग का प्रतिनिधि है। और शुरुआत में 1 को एक साधारण संख्या के रूप में ध्यान में रखा गया था, और हम ऐसा देखते हैं: 2 \u003d 1 + 1। यह सबसे छोटा उदाहरण है जो परिकल्पना के प्रारंभिक शब्द को पूरा करता है। बाद में इसे सही किया गया, और शब्द ने आधुनिक रूप से एक आधुनिक रूप हासिल किया: "4 से शुरू होने वाला कोई अन्य नंबर, दो सरल संख्याओं के योग के रूप में प्रतिनिधित्व करता है।"

परिभाषा को याद करें। सरल है प्राकृतिक संख्या पी, केवल 2 अलग-अलग प्राकृतिक विभाजक होने के कारण: स्वयं पी और 1. परिभाषा का परिणाम: एक साधारण संख्या में केवल एक साधारण विभाजक - स्वयं पी।

अब मान लीजिए कि 1 सरल संख्या। एक साधारण संख्या में परिभाषा के अनुसार, केवल एक साधारण विभाजक ही है। फिर यह पता चला है कि किसी भी साधारण संख्या, 1 से अधिक, इसे एक साधारण संख्या में विभाजित किया गया है (1 से)। लेकिन दो अलग-अलग सरल संख्या एक-दूसरे को साझा नहीं कर सकते, क्योंकि अन्यथा, यह आसान नहीं है, लेकिन घटक संख्या है, और यह परिभाषा के विपरीत है। इस दृष्टिकोण के साथ, यह पता चला है कि केवल 1 बस संख्या है - इकाई ही। लेकिन यह बेतुका है। नतीजतन, 1 एक साधारण संख्या नहीं है।

1, साथ ही 0, संख्याओं का एक और वर्ग बनाएं - बीजगणितीय क्षेत्र के कुछ उप-समूह में एन-ड्रग ऑपरेशंस के सापेक्ष तटस्थ तत्वों का वर्ग। साथ ही, अतिरिक्त ऑपरेशन 1 के सापेक्ष पूर्णांक की अंगूठी के लिए एक बनाने का तत्व भी है।

इस समीक्षा के साथ, अन्य बीजगणितीय संरचनाओं में प्राइम नंबरों के अनुरूपों का पता लगाना मुश्किल नहीं है। मान लीजिए कि हमारे पास 1: 2, 4, 8, 16, से शुरू होने वाली डिग्री 2 से बना एक गुणात्मक समूह है ... आदि। 2 यहां एक बनाने वाले तत्व के साथ प्रदर्शन करता है। बस, इस समूह में, हम एक संख्या, सबसे छोटे तत्व से अधिक, और केवल अपने और छोटे तत्व पर विभाजित करते हैं। हमारे समूह में, केवल 4. सभी संपत्तियों में ऐसी गुण हैं। हमारे समूह में अधिक प्राइम नंबर मौजूद नहीं हैं।

यदि 2 हमारे समूह में भी एक साधारण संख्या थी, तो पहला पैराग्राफ देखें, यह फिर से हुआ होगा कि केवल 2 एक साधारण संख्या है।

फिलहाल, संख्याओं के कारक के लिए बहुपद एल्गोरिदम अज्ञात हैं, हालांकि यह साबित नहीं हुआ है कि ऐसे कोई एल्गोरिदम नहीं हैं। कारककरण की समस्या की बड़ी कम्प्यूटेशनल जटिलता पर, आरएसए क्रिप्टोसिस्टम आधारित है और कुछ अन्य। बहुपद जटिलता के साथ कारक एक शूरा एल्गोरिदम का उपयोग कर क्वांटम कंप्यूटर पर सैद्धांतिक रूप से संभव है।

सरल संख्याओं को खोजने और पहचानने के लिए एल्गोरिदम

एक निश्चित मूल्य तक प्राइम नंबरों की प्रारंभिक सूची खोजने के सरल तरीके सॉलिडो इरैटोस्फन, स्केन्टा सुटुरम और कोट अवशेष हैं।

हालांकि, प्रैक्टिस में, प्राइम नंबरों की एक सूची प्राप्त करने के बजाय, यह जांचने के लिए अक्सर आवश्यक होता है कि क्या यह अंक सरल। एल्गोरिदम निर्णायक इस कार्य को सादगी परीक्षण कहा जाता है। सादगी के कई बहुपद परीक्षण हैं, लेकिन उनमें से अधिकतर संभाव्य हैं (उदाहरण के लिए, टेस्ट मिलर - रबिन) और क्रिप्टोग्राफी की जरूरतों के लिए उपयोग किया जाता है। 2002 में, यह साबित हुआ कि सामान्य रूप से सादगी के लिए परीक्षण का कार्य बहुपक्षीय रूप से हल करने योग्य है, लेकिन अग्रवाल के प्रस्तावित निर्धारक परीक्षण - केयाला - सैक्स के पास एक अधिक कम्प्यूटेशनल जटिलता है, जो व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए मुश्किल बनाती है।

संख्याओं के कुछ वर्गों के लिए, विशेष कुशल सादगी परीक्षण हैं (नीचे देखें)।

प्राइम नंबरों के सेट की अनंतता

सरल संख्या असीम रूप से बहुत कुछ है। इस तथ्य का सबसे पुराना प्रसिद्ध सबूत "शुरुआत" (पुस्तक आईएक्स, स्टेटमेंट 20) में यूक्लाइड द्वारा दिया गया था। इसका प्रमाण संक्षेप में निम्नानुसार पुन: उत्पन्न किया जा सकता है:

गणित ने अन्य सबूत की पेशकश की। उनमें से एक (यूलर द्वारा दिया गया) से पता चलता है कि मूल्यों की राशि पहले की ओर वापस आती है एन सरल संख्या, अनिश्चित काल तक विकास के साथ बढ़ती है एन.

Mersenna की संख्या एक प्रभावी सादगी परीक्षण की उपस्थिति से फायदेमंद है: हैच आटा - लीवरेज। उसके लिए धन्यवाद, मेरसेना की सरल संख्या लंबे समय से एक प्रसिद्ध प्रसिद्ध सरल के रूप में एक रिकॉर्ड आयोजित किया है।

100,000,000 से अधिक और 1,000,000,000 दशमलव अंकों से सरल संख्या खोजने के लिए, ईएफएफ ने क्रमशः 150,000 और $ 250,000 मौद्रिक पुरस्कार नियुक्त किए हैं। इससे पहले, ईएफएफ ने 1,000,000 और 10,000,000 दशमलव अंकों से कुछ नंबरों को खोजने के लिए पहले ही पुरस्कार से सम्मानित किया है।

एक विशेष प्रकार की सरल संख्या

कई संख्याएं हैं, जिनकी सादगी विशिष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके कुशलतापूर्वक स्थापित की जा सकती है।

वर्तमान में वितरित जीआईएमपीएस गणना, प्राइमग्रीड, प्राइमग्रीड, प्राइमग्रीड, प्राइमग्रीड, प्राइमग्रीड, प्राइम नंबर्स नामित प्रकारों की खोज करने के लिए [ईमेल संरक्षित] , सत्रह या बस्ट, रीसल चलनी, [ईमेल संरक्षित].

कुछ गुण

• यदि पी सरल है, और पी एबी को विभाजित करता है, तो पी ए या बी को विभाजित करता है। इस तथ्य का सबूत यूक्लाइड द्वारा दिया गया था और इसे लेम्मा यूक्लाइड के रूप में जाना जाता है। इसका उपयोग मुख्य अंकगणितीय प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।
• कटौती की अंगूठी $\backslash \backslash \; Mathbb\; (z)\; \_n$ फ़ील्ड तब और केवल कब है $एन$ - सरल।
• प्रत्येक फ़ील्ड की विशेषता शून्य या एक साधारण संख्या है।
• यदि एक $पी$ - सरल, और $ए।$ - प्राकृतिक, फिर $ए\; ^\; पी-ए$ द्वारा विभाजित $पी$ (छोटे खेत प्रमेय)।
• यदि एक $जी$ - अंतिम समूह, जिसका क्रम $|\; जी\; |$ द्वारा विभाजित $पी$टी $जी$ जिसमें आदेश का तत्व होता है $पी$ (कौची प्रमेय)।
• यदि एक $जी$ - परिमित समूह, और $पी\; ^\; एन।$ - अधिकतम डिग्री $पी$कौन सा दर्शन करता है $|\; जी\; |$टी $जी$ आदेश का एक उपसमूह है $पी\; ^\; एन।$सिलो उपसमूह कहा, इसके अलावा, Sylow उपसमूह की संख्या बराबर है $पीके\; +\; 1।$ कुछ के लिए $क।$ (प्रमेय सिलोवा)।
• प्राकृतिक $p\backslash u003e\; 1।$ तब सरल है और केवल कब $(पी\; -1)!\; +\; 1।$ द्वारा विभाजित $पी$ (विल्सन प्रमेय)।
• यदि एक $n\backslash u003e\; 1।$ - प्राकृतिक, तो एक सरल है $पी$, ऐसा है कि (बर्टन की पोस्टलेट)।
• सरल, विचलन के लिए कई संख्याएं। इसके अलावा, कब $x\; \backslash \backslash \; \_\; unfty$
• प्रजातियों की कोई अंकगणितीय प्रगति $ए,\; ए\; +\; क्यू,\; ए\; +\; 2\; क्यू,\; ए\; +\; 3\; क्यू,\; ...$कहां है $ए,\; क्यू\backslash u003e\; 1$ - पूरे पारस्परिक रूप से सरल संख्याएं, असीमित रूप से कई प्रमुख संख्याएं हैं (अंकगणितीय प्रगति में सरल संख्याओं पर Dirichlet प्रमेय)।
• कोई भी सरल संख्या, अधिक 3, फॉर्म में प्रतिनिधित्व करते हैं $6k\; +\; 1।$ या $6k-1$कहां है $क।$ - कुछ प्राकृतिक संख्या। इसलिए, यदि कई अनुक्रमिक सरल संख्याओं (k\u003e 1 पर) के बीच का अंतर समान है, तो यह निश्चित रूप से एक बहु 6 है - उदाहरण के लिए: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219।
• यदि एक $पी\backslash u003e\; 3।$ - सरल, फिर $p\; ^\; 2-1$ क्रैश 24 (सभी विषम संख्याओं के लिए भी मान्य नहीं 3 से विभाजित नहीं)।
• ग्रीन ताओ प्रमेय। प्रमुख संख्याओं से मिलकर मनमाने ढंग से लंबी सीमित अंकगणितीय प्रगति होती है।
• $एन\; ^\; के\; -1$कहां है एन>2, क।\u003e 1। दूसरे शब्दों में, सरल के बगल में स्थित संख्या एक वर्ग या आधार के साथ एक उच्च डिग्री नहीं हो सकती है, 2. इससे यह भी इस प्रकार है कि यदि एक साधारण संख्या है $2\; ^\; के\; -1$टी क। - सरल (Mersenna की संख्या देखें)।
• कोई साधारण संख्या नहीं हो सकती $n\; ^\; (2k\; +\; 1)\; +1$कहां है एन>1, क।\u003e 0। दूसरे शब्दों में, सरल से पहले की संख्या एक घन या आधार के साथ एक उच्च विषम डिग्री नहीं हो सकती है, बड़े 1।

सरल संख्या खोजने के लिए सूत्र

कई बार, अभिव्यक्ति को इंगित करने के प्रयास किए गए थे, जिनमें से मूल रूप से चर के विभिन्न मूल्यों के साथ, सरल संख्याएं होंगी। एल। यूलर ने पॉलीनोमियल की ओर इशारा किया $\backslash \backslash \; TextStyle\; n\; ^\; 2-n\; +\; 41,$ जब सरल मूल्य लेना एन \u003d 0, 1, 2, ..., 40। हालाँकि n \u003d 41। बहुपद का मूल्य एक संविधान संख्या है। यह साबित किया जा सकता है कि एक वैरिएबल एन से बहुपद नहीं है, जो सभी पूर्णांक एन के लिए सरल मान लेता है। पी। फार्म ने सुझाव दिया कि सभी प्रकार की संख्या 2 2 K + 1 सरल; हालांकि, यूलर ने इस परिकल्पना से इंकार कर दिया, यह संख्या 2 साबित कर रहा है 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - समग्र।

हालांकि, बहुपद हैं, सकारात्मक मूल्यों का सेट जिसमें चर के गैर-महत्वपूर्ण मूल्यों पर प्रमुख संख्याओं के एक सेट के साथ मेल खाता है। एक उदाहरण एक बहुपद है

• $शुरू\; (संरेखित)$

और (के + 2) (1 - ^ 2 - [(जीके + 2 जी + के + 1) (एच + जे) + एच - जेड] ^ 2 - ^ 2 - \\\\ & ^ 2 - ^ 2 - [ए ^ 2 - 1) y ^ 2 + 1 - x ^ 2] ^ 2 - \\\\ ^ 2 - [(a + u ^ 2 (u ^ 2 - a) ^ 2 - 1) (n + 4dy) ^ 2 + 1 - (एक्स + सीयू) ^ 2] ^ 2 - ^ 2 - \\\\ ^ (a ^ 2 - 1) l ^ 2 + 1 - m ^ 2] ^ 2 - ^ 2 - ^ 2 - \\ \\ & ^ 2 - ^ 2) \\ END (संरेखित) 26 चर और डिग्री 25 होने से। इस प्रकार के ज्ञात बहुपदों के लिए सबसे छोटी डिग्री 42 चर पर 5 है; चर की सबसे छोटी संख्या - लगभग 1.6 · 10 45 की डिग्री के साथ। यह परिणाम किसी भी सूचीबद्ध सेट की Yuri Matyatsevich Diopintability द्वारा सिद्ध होने का एक विशेष मामला है।

प्रश्न खोलें

अब तक, प्राइम नंबरों के बारे में कई खुले प्रश्न हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध पांचवीं अंतरराष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में एडमंड लैंडौ द्वारा सूचीबद्ध किया गया था:

एक खुली समस्या कई पूर्णांक अनुक्रमों में प्राइम नंबरों की एक अनंत संख्या का अस्तित्व भी है, जिसमें मेर्सेना की संख्या, फाइबोनैकी की संख्या, खेत की संख्या इत्यादि शामिल हैं।

अनुप्रयोग

खुली कुंजी क्रिप्टोग्राफी में बड़ी सरल संख्या (लगभग 10 300) का उपयोग किया जाता है। हैश टेबल में सरल संख्याओं का भी उपयोग किया जाता है और छद्म-यादृच्छिक संख्या (विशेष रूप से, जीपीएसएम "भंवर मेरसेना" में उत्पन्न करने के लिए)।

भिन्नताएं और सामान्यीकरण

• अंगूठियों के सिद्धांत में, सामान्य बीजगणित का खंड, एक साधारण तत्व की अवधारणा और एक साधारण आदर्श निर्धारित किया जाता है।
• नोड्स के सिद्धांत में, एक साधारण नोड की अवधारणा को गैर-तुच्छ नोड के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे गैर-सामग्री नोड्स की सुसंगत मात्रा के रूप में दर्शाया नहीं जा सकता है।

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टिप्पणियाँ

| Title3 \u003d विस्तार उपकरण
न्यूमेरिक सिस्टम | शीर्षक 4 \u003d पदानुक्रम संख्या | सूची 4 \u003d

$-1,\; \backslash \backslash ;\; 0,\; \backslash \backslash ;\; 1,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; ldots$ पूर्ण संख्या $-1,\; \backslash \backslash ;\; 1,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (2),\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash ;\; 0\; (,)\; 12,\; \backslash \backslash \; frac\; (2)\; (3),\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; ldots$ परिमेय संख्या $-1,\; \backslash \backslash ;\; 1,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash ;\; 0\; (,)\; 12,\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (2),\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; pi,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; sqrt\; (2),\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; ldots$ वास्तविक संख्याये

$-1,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (2),\; \backslash \backslash ;\; 0\; (,)\; 12,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; pi,\; \backslash \backslash ;\; 3i\; +\; 2,\; \backslash \backslash ;\; e\; ^\; (i\; \backslash \backslash \; pi\; /\; 3),\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; ldots$

जटिल आंकड़े

$1,\; \backslash \backslash ;\; i,\; \backslash \backslash ;\; j,\; \backslash \backslash ;\; k,\; \backslash \backslash ;\; 2i\; +\; \backslash \backslash \; pi\; j-\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (2)\; k,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; dots$ quaternions $1,\; \backslash \backslash ;\; i,\; \backslash \backslash ;\; j,\; \backslash \backslash ;\; k,\; \backslash \backslash ;\; l,\; \backslash \backslash ;\; m,\; \backslash \backslash ;\; n,\; \backslash \backslash ;\; ओ,\; \backslash \backslash ;\; 2\; -\; 5l\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pi)\; (3)\; मी,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash ;\; डॉट्स।$ Octonions $1,\; \backslash \backslash ;\; e\_1,\; \backslash \backslash ;\; e\_2,\; \backslash \backslash ;\; \backslash \backslash \; dots,\; \backslash \backslash ;\; e\_\; (15),\; \backslash \backslash ;\; 7e\_2\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (2)\; (5)\; e\_7\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; e\_\; (15),\; \backslash \backslash \; ;\; \backslash \backslash \; dots।$ सुगंध | Title5 \u003d अन्य
न्यूमेरिक सिस्टम | Title6 \u003d भी देखें

आम फैक्टरलाइजेशन फॉर्म सीमित विभाजक के साथ कई divisors के साथ संख्या अलगाव के साथ जुड़ा हुआ है दृश्यों अन्य

अंश एक साधारण संख्या की विशेषता है

नताशा की बीमारी की खबर, काउंटी, काफी स्वस्थ और कमजोर नहीं, पीट के साथ और पूरे घर के साथ मास्को में आया, और विकास का पूरा परिवार मैरीया दिमित्रीवना से अपने घर तक चले गए और पूरी तरह मास्को में बस गए।
नताशा की बीमारी इतनी गंभीर थी कि, उसकी खुशी के लिए, और रिश्तेदारों की खुशी के लिए, जो उसकी बीमारी का कारण था, उसका कार्य और दुल्हन के साथ अंतर पृष्ठभूमि में चला गया। वह इतनी बीमार थी कि वह यह सोचना असंभव था कि वह जो भी हुई थी, उसके बारे में कितना दोषी ठहराया गया था, जबकि उसने नहीं सोया था, सोया नहीं था, यह ध्यान से खो गया था, खांसी और था, जैसा कि डॉक्टर दिया गया था खतरा। केवल उसकी मदद के बारे में सोचना आवश्यक था। डॉक्टर नताशा और अलग से गए और conxylums गए, ने कहा कि फ्रेंच, जर्मन और लैटिन में बहुत कुछ, एक दूसरे की निंदा की, सभी ज्ञात बीमारियों से विभिन्न प्रकार की दवाएं निर्धारित की; लेकिन उनमें से कोई भी सरल विचार से नहीं हुआ कि उन्हें उस बीमारी से पता नहीं चलेगा कि नताशा को पीड़ित किया गया कि कैसे कोई बीमारी नहीं हो सकती है, जो एक जीवित व्यक्ति द्वारा मनाया जाता है: प्रत्येक जीवित व्यक्ति की अपनी विशेषताओं के लिए और हमेशा विशेष और हमेशा विशेष है नई, जटिल, अज्ञात दवा रोग, फेफड़ों, यकृत, त्वचा, दिल, तंत्रिकाओं आदि की बीमारी नहीं, दवा में दर्ज की गई, लेकिन इन निकायों के पीड़ितों में अनगिनत यौगिकों में से एक से युक्त एक बीमारी। यह सरल विचार डॉक्टरों के पास नहीं आ सकता था (जैसे वह एक जादूगर नहीं आ सकता था कि वह स्वीकार नहीं कर सका) क्योंकि जीवन के जीवन का इलाज करना था, क्योंकि उस समय के लिए उन्हें पैसे मिलते थे, और क्योंकि उन्होंने सबसे अच्छे साल बिताए थे इस मामले पर उनके जीवन। लेकिन मुख्य बात - यह विचार डॉक्टरों के पास नहीं आ सकता क्योंकि उन्होंने देखा कि वे निस्संदेह उपयोगी थे, और सभी घर के बने विकास के लिए वास्तव में सहायक थे। वे सहायक नहीं थे क्योंकि उन्हें बीमार ज्यादातर हानिकारक पदार्थों को निगलने के लिए मजबूर किया गया था (हानिकारक कम संवेदनशील था, क्योंकि हानिकारक पदार्थ छोटी मात्रा में दिए गए थे), लेकिन वे उपयोगी हैं, उन्हें आवश्यक है, अपरिहार्य थे (कारण - वहां क्यों हमेशा काल्पनिक उपचार एजेंट, गोडी, होम्योपैथ और एलोपैथ होते हैं) क्योंकि वे रोगी और उन लोगों की नैतिक आवश्यकता को पूरा करते हैं जो रोगी से प्यार करते हैं। उन्होंने राहत के लिए शाश्वत मानव आवश्यकता, सहानुभूति और गतिविधियों की आवश्यकता को पूरा किया जो एक व्यक्ति को पीड़ा के दौरान अनुभव करता है। उन्होंने संतुष्ट किया कि अनन्त, मानव - बच्चे में सबसे आदिम रूप में ध्यान देने योग्य - उस जगह को खोने की जरूरत है जो चोट लगी थी। बच्चे मार डालेगा और तुरंत मां, nanniki के हाथों इतना है कि वह चूमा और बीमार जगह मला में चलाता है, और यह उसके लिए आसान जब बीमार जगह हरा या चुंबन जाएगा। बच्चा ऐसा नहीं मानता कि सबसे मजबूत और खराब होने का मतलब उनके दर्द की मदद करने के लिए नहीं था। और सहानुभूति की राहत और अभिव्यक्ति के लिए आशा करते हैं, जबकि मां ने अपनी टक्कर को रगड़ता हूं, उसे कंसोल किया। में है कि वे चूमा और बोबो कसा हुआ नताशा के लिए डॉक्टरों मददगार थे, आश्वस्त है कि यह, के माध्यम से जा होगा अगर Kucher Arbatian फार्मेसी में ड्राइव और रूबल सात रिव्निया पाउडर और एक सुंदर बॉक्स में गोली और निश्चित रूप से पाउडर के पाउडर के लिए लेता होगा दो घंटों में, कोई और नहीं, कम नहीं, यह उबला हुआ पानी में एक रोगी ले जाएगा।
सोनी, एक ग्राफ और एक काउंटी क्या कर रहा होगा, वे कमजोर, स्वाद नताशा को कैसे देखेंगे, कुछ भी नहीं ले रहे हैं, अगर यह घड़ी पर इन गोलियों को नहीं रखना था, तो गर्म, चिकन केक और सभी विवरण पी रहे थे डॉक्टर द्वारा निर्धारित जीवन, दूसरों के लिए निरीक्षण और सांत्वना के लिए? अधिक कठोर और अधिक कठिन ये नियम थे, यह दूसरों के लिए अधिक आरामदायक था। चूंकि वह अपनी प्यारी बेटी की गिनती को स्थानांतरित करना था, अगर उन्हें नहीं पता था कि उसने हजारों रूबल नताशा की बीमारी की लागत की थी और वह अपने लाभ के लिए हजारों लोगों को भी खेद नहीं करेगा: यदि वह नहीं जानता कि, अगर वह ठीक नहीं हो सकती है , वह हजारों लोगों को भी पछतावा नहीं था और उसे विदेश ले जाता था और अवधारणाओं को बनाएगा; अगर उसे इस बारे में विवरण बताने का अवसर नहीं मिला कि मिथक और फेलर समझ में क्यों नहीं आया, और फ्रिज समझा, और बुद्धिमानों ने भी बीमारी को बेहतर ढंग से निर्धारित किया? काउंटी क्या करेगा, अगर वह कभी-कभी बीमार नताशा के साथ झगड़ा कर सकती है, इस तथ्य के लिए कि वह पूरी तरह से डॉक्टर के नुस्खे का पालन नहीं करती है?
उसने कहा, "यह कभी मिलकर नहीं हो रहा है," उसने कहा, कष्टप्रद अपने दुःख को भूलकर, "यदि आप डॉक्टर को नहीं सुनेंगे और समय पर दवा लेते हैं! आखिरकार, जब निमोनिया बनाया जा सके, तो इसके द्वारा मजाक करना असंभव है, और इसके उच्चारण में उनके एक शब्द के लिए समझ में नहीं आता है, उसे पहले से ही एक महान सांत्वना मिली। सोनी के पास होगा, अगर इसकी कोई खुशहाल चेतना नहीं थी कि उसने डॉक्टर के सभी नुस्खे को करने के लिए तैयार होने के लिए पहले तीन रातों को नहीं पहना था, और वह रात में सो नहीं रही है ताकि वह घड़ी को याद न करे जो आपको चाहिए गोल्डन बॉक्स से मामूली गोलियां दें? यहां तक \u200b\u200bकि नताशा, जिन्होंने कहा कि उन्होंने कहा कि कोई दवा उसे ठीक नहीं करेगी और यह सब बकवास है, - और वह खुशी से देख रही थी कि वह इतने सारे दान कर रही थी कि उन्हें प्रसिद्ध घंटों में दवाएं लेना पड़ा, और यहां तक \u200b\u200bकि उसकी खुशी से यह भी थी वह, निर्धारित की पूर्ति से उपेक्षित, यह दिखा सकती है कि वह इलाज में विश्वास नहीं करती थी और अपने जीवन का महत्व नहीं देती थी।
डॉक्टर ने हर दिन यात्रा की, नाड़ी चूसने, जीभ देखी और, उसके हत्या के चेहरे पर ध्यान नहीं दे रहा था, उसके साथ मजाक किया। लेकिन जब वह एक और कमरे में गया, तो काउंटेस जल्दबाजी से बाहर निकल गया, और वह गंभीर रूप से अपने सिर को गंभीर रूप से हिलाकर कहा, हालांकि, एक खतरा है, लेकिन वह इस आखिरी दवा की कार्रवाई की उम्मीद करता है, और क्या हमें इंतजार करने और देखने की जरूरत है; यह रोग अधिक नैतिक है, लेकिन ...
काउंटेस, इस अधिनियम को खुद से और डॉक्टर से छिपाने की कोशिश कर रहा है, सोने के अपने हाथ में बैठ गया और हर बार एक शांत दिल के साथ रोगी को लौट आया।
नताशा की बीमारी के संकेत थे कि उसने बहुत कम खाई, वह थोड़ा, खांसी सो गया और कभी नहीं रहता था। डॉक्टरों ने कहा कि रोगी को बिना छोड़ा नहीं जा सकता चिकित्सा देखभालऔर इसलिए भरी हवा में इसे शहर में रखा गया। और 1812 रोस्तोव की गर्मियों में गांव के लिए नहीं छोड़ा गया।
बड़ी संख्या में निगलने वाली गोलियों, जार और बक्से से बूंदों और पाउडर के बावजूद, जिसमें मैडम शॉस, इन चीजों के लिए एक शिकारी, परिचित देहाती जीवन की कमी के बावजूद, एक बड़ा संग्रह इकट्ठा हुआ, युवाओं ने खुद को लिया: माउंट नताशा बनने लगी जीवन के इंप्रेशन की एक परत के साथ कवर किया गया, उसने अपने दिल पर झूठ बोलने वाले इतने दर्दनाक दर्द को रोक दिया, अतीत बनना शुरू कर दिया, और नताशा शारीरिक रूप से बदलना शुरू कर दिया।

नताशा शांत था, लेकिन अधिक मजेदार नहीं था। उसने न केवल खुशी की सभी बाहरी स्थितियों से परहेज किया: गेंदें, कोकान्या, संगीत कार्यक्रम, रंगमंच; लेकिन वह इस तरह से कभी नहीं हँसे कि उसके हंसते हुए आँसू थे। वह गा सकती थी। जैसे ही वह हंसने लगी या खुद को उसके साथ गाने के लिए कोशिश की, आँसू ने इसे घबराया: पश्चाताप के आँसू, गैर-वापसी योग्य, शुद्ध समय की यादों के आँसू; झुंझलाहट के आँसू, जैसे, कार्य, उसने अपने युवा जीवन को नष्ट कर दिया जो बहुत खुश हो सकता था। हंसी और गायन विशेष रूप से उसके दुःख पर उसकी निन्दा लग रहा था। उसने तट के बारे में नहीं सोचा; उसे भी बचना नहीं था। उसने कहा और महसूस किया कि इस समय सभी पुरुष जेस्टर नास्तास्या इवानोवना के समान ही थे। आंतरिक गार्ड ने दृढ़ता से किसी भी खुशी को प्रकट किया। हां, और उस कुंवारी, निस्संदेह, जीवन के गोदाम की पूरी आशा से जीवन का कोई पिछला हित नहीं था। अधिक बार और दर्दनाक सिर्फ शरद ऋतु के महीनों, शिकार, चाचा और झटके को याद किया, ओट्रदनया में निकोलस के साथ बिताया। वह उस समय से कम से कम एक दिन वापस लौटने के लिए क्या देगी! लेकिन यह हमेशा के लिए खत्म हो गया था। प्रीमोनेशन ने इसे धोखा नहीं दिया कि सभी खुशियों के लिए स्वतंत्रता और खुलेपन की स्थिति कभी भी अधिक नहीं होगी। लेकिन यह जीना आवश्यक था।
वह यह सोचने के लिए संतुष्ट थी कि वह बेहतर नहीं थी क्योंकि उसने पहले सोचा था, और बदतर और इससे भी बदतर, जो दुनिया में है। लेकिन यह पर्याप्त नहीं था। वह इसे जानती थी और खुद से पूछा: "अगला क्या है? और फिर कुछ नहीं था। जीवन में कोई खुशी नहीं थी, और जीवन हुआ। जाहिर है, नताशा ने केवल बोझ में नहीं होने और किसी के साथ हस्तक्षेप नहीं करने की कोशिश की, लेकिन उसे उसके लिए कुछ भी नहीं चाहिए। उसे सभी घर से हटा दिया गया था, और केवल अपने भाई पेटिया के साथ उसके लिए आसान था। उसके साथ वह दूसरों के साथ से अधिक होना पसंद करती थी; और कभी-कभी, जब यह आंखों पर आंखों के साथ उसके साथ था, हँसे। उसने लगभग घर नहीं छोड़ा और आगमन से उनके पास केवल एक पियरे थे। Lyuhov की गिनती की तुलना में अधिक गंभीर, सतर्क और एक ही समय में एक ही समय में असंभव था। नताशा ने अपील की इस कोमलता को महसूस किया और इसलिए अपने समाज में बहुत खुशी मिली। लेकिन वह अपनी कोमलता के लिए भी आभारी नहीं थी; पियरे से कुछ भी अच्छा नहीं था। पियरे इतने प्राकृतिक होने के लिए इतने प्राकृतिक लग रहे थे कि उनकी दयालुता में कोई योग्यता नहीं थी। कभी-कभी नताशा ने अपनी उपस्थिति में पियरे की शर्मिंदगी और अजीबता को देखा, खासकर जब वह उसके लिए कुछ सुखद करना चाहता था या जब उसे डर था कि वार्तालाप में कुछ गंभीर यादों के लिए नताशा को सौंपा गया था। उसने इसे देखा और उसे अपनी सामान्य दयालुता और शर्मीली के लिए जिम्मेदार ठहराया, जो उनकी अवधारणाओं के अनुसार, साथ ही साथ, हर किसी के साथ होना चाहिए था। इस तथ्य के बारे में उन अनुचित शब्दों के बाद, अगर वह स्वतंत्र हो जाए, तो उसने अपने घुटनों पर अपने हाथों से पूछा होगा, उसके लिए इतनी मजबूत उत्तेजना के एक मिनट में कहा, पियरे ने नताशा के लिए अपनी भावनाओं के बारे में कुछ भी नहीं बताया; और उसके लिए यह स्पष्ट था कि उन शब्दों, फिर इसे सांत्वना देने के लिए, एक रोते हुए बच्चे के सांत्वना के लिए किसी भी व्यर्थ शब्द के रूप में कहा गया था। नहीं क्योंकि पियरे एक विवाहित व्यक्ति थे, लेकिन नताशा उसके बीच महसूस कर रही थी और वे नैतिक बाधाओं की अत्यधिक शक्ति रखते हैं - जिसकी अनुपस्थिति वह किरण के साथ महसूस करती है, - वह उसके साथ कभी नहीं हुई थी ताकि वह पियरे के साथ अपने रिश्ते से बाहर आ सके। न केवल उसके साथ या उससे भी कम, अपने हिस्से पर, लेकिन उस तरह के कोमल, खुद को पहचानते हुए, एक आदमी और एक महिला के बीच काव्य दोस्ती जिसे वह कई उदाहरणों को जानती थी।
पेट्रोव्स्की के अंत में एग्रैफेन इवानोवना बेलोवा, विकास के ओट्राडेन्स्काया पड़ोसी के बाद, मास्को में मास्को में पहुंचे। उसने नताशा को सुनने की पेशकश की, और नताशा ने खुशी से इस विचार को पकड़ लिया। सुबह में जल्दी बाहर जाने के लिए डॉक्टर के निषेध के बावजूद, नताशा ने जांचने के लिए जोर दिया, और यह नहीं सीखना कि कैसे गवालों को घर पर तीन सेवाओं को रखने के लिए, लेकिन लेवी, के रूप में, गोवर Agraphen Ivanovna, यह सब सप्ताह है, मैं किसी भी शाम, रात का खाना ऑवर याद नहीं करता।
काउंटीस ने नताशा के इस उत्साह को पसंद किया; असफल चिकित्सा उपचार के बाद, उसकी आत्मा में, उम्मीद थी कि प्रार्थना उसकी अधिक दवाइयों की मदद करेगी, और हालांकि डॉक्टर से डर और छिपाने के साथ, लेकिन नताशा की इच्छा से सहमत हुए और उसे सफेद निर्देशित किया। तीन बजे Agraphen Ivanovna नताशा जाग गया और ज्यादातर उसे सो नहीं पाया। नताशा को झुकाव समय सोने से डरता था। घुड़सवार की पोशाक और एक पुरानी मंथी में तैयार विनम्रता के साथ जल्दी से धोएं, ताजगी से घिरा हुआ, नताशा सुनसान सड़कों पर गया, पारदर्शी रूप से सुबह के गोर से जलाया गया। Agraphenes, Ivanovna, Natasha Blysel की सलाह के अनुसार, अपने पैरिश में, और चर्च में, जिसमें पवित्र बेलोवा के अनुसार, एक पुजारी बहुत सख्त और उच्च जीवन था। चर्च में हमेशा छोटे लोग थे; सफेद के साथ नताशा ईश्वर की मां के आइकन के सामने सामान्य जगह बन गई, बाएं हाथ की मंजूरी के पीछे बनाई गई, और नताशा के लिए एक नया व्यक्ति महान, समझ से बाहर होने से पहले नम्रता महसूस कर रहा था, जब वह इसमें हो सुबह का असामान्य घंटा, भगवान की मां, रोशनी और मोमबत्तियों, उसके सामने जमीन, और सुबह की रोशनी के काले चेहरे को देखकर, जो खिड़की से बाहर हो गया था, सेवा की आवाज़ सुनी, जिसे उसने देखने की कोशिश की, उन्हें समझना। जब वह उन्हें समझती थी, तो उसके रंगों के साथ उनकी व्यक्तिगत भावना उसकी प्रार्थना में शामिल हो गई; जब वह समझ में नहीं आया, तो वह सोचने के लिए और भी मीठी थी कि सबकुछ समझने की इच्छा गर्व है, कि यह सब कुछ समझना असंभव है कि यह सिर्फ विश्वास करना और भगवान को छोड़ना असंभव है, जो इन क्षणों में महसूस करता है - वह उसकी आत्मा को प्रबंधित किया। उसे बपतिस्मा लिया गया, झुकाया और, जब वह समझ में नहीं आई, तो केवल अपनी बीमारी से पहले भयानक, उसने पूछा कि भगवान उसे सबकुछ, सबकुछ के लिए क्षमा करें, और क्षमा के लिए। प्रार्थनाएं, जिन्हें उन्होंने सबसे ज्यादा नाटक किया, पश्चाताप प्रार्थनाएं थीं। सुबह के शुरुआती दिनों में घर लौटने पर, जब केवल ईंटों थे, जो काम करने गए थे, जो वाइपर थे, और वे अभी भी घरों में सोए थे, नताशा ने अपने vices से खुद को सही करने की एक नई भावना का अनुभव किया और एक नए, स्वच्छ जीवन और खुशी की संभावना।
पूरे सप्ताह की निरंतरता में, जिसमें उन्होंने इस जीवन का नेतृत्व किया, भावना हर दिन बढ़ी। और खुशी या रिपोर्ट करने के लिए खुशी, इस शब्द को कितनी खुशी से खेलते हैं, मैंने अपने अग्रपैन इवानोवना से कहा, यह इतना अच्छा लग रहा था कि वह उसे लग रही थी कि वह इस आनंदमय रविवार को नहीं रहती थी।
लेकिन खुशहाल दिन आया, और जब इस यादगार रविवार में नताशा, एक सफेद किसिन पोशाक में, कम्युनियन से लौट आया, वह पहली बार कई महीनों के बाद उन्हें शांत महसूस किया और जीवन में नहीं जीता, जो उसे परेशान करना था ।
इस दिन आने वाले डॉक्टर ने नताशा की जांच की और पिछले पाउडर को जारी रखने का आदेश दिया कि उन्होंने दो हफ्ते पहले निर्धारित किया था।
उन्होंने कहा, "यह निश्चित रूप से जारी रहता है - सुबह और शाम को," जाहिर है, वह खुद को अपनी सफलता से संतुष्ट रूप से संतुष्ट है। - केवल, कृपया ध्यान से। मृतक, काउंटी, "डॉक्टर ने मजाक में कहा, चुटकी से मांस में सुनहरा हाथ उठाकर, - जल्द ही वह चला गया और कुल्ला। आखिरी दवा के पक्ष में बहुत अधिक। वह बहुत टूट गई थी।
काउंटेस ने अपने नाखूनों को देखा और लिविंग रूम में लौटने वाला एक मजेदार चेहरा देखा।

जुलाई की शुरुआत में, युद्ध की प्रगति के बारे में अधिक से अधिक परेशान अफवाहों को मॉस्को में वितरित किया गया था: उन्होंने सेनाओं के लिए प्रभुत्व के आगमन के बारे में लोगों को प्रभुत्व की अपील के बारे में बात की थी। और 11 जुलाई तक, घोषणापत्र और अपील प्राप्त नहीं हुई थी, फिर रूस की स्थिति के बारे में उनके बारे में अफवाहें अतिरंजित थीं। उन्होंने कहा कि संप्रभु छोड़ रहा है क्योंकि खतरे में सेना ने कहा कि स्मोलेंस्क को दिया गया था कि नेपोलियन के पास एक मिलियन सैनिक थे और केवल एक चमत्कार रूस को बचा सकता था।
11 जून को, शनिवार को, एक घोषणापत्र प्राप्त हुआ, लेकिन अभी तक मुद्रित नहीं किया गया; और रोस्तोव में पूर्व पियरे ने अगले दिन, रविवार को, दोपहर के भोजन के लिए आने और घोषणापत्र और अपील लाने के लिए वादा किया, जिसे वह क्रस्ट प्राप्त करेगा।
इस रविवार को रोस्तोव, सामान्य रूप से, रज़ुमोव्स्की के घर चर्च के लिए रात के खाने के लिए चला गया। एक गर्म जुलाई दिवस था। पहले से ही दस बजे, जब रोस्तोव चर्च के सामने गाड़ी से बाहर था, गर्म हवा में, पेडलर की चीखों में, भीड़ के उज्ज्वल और उज्ज्वल ग्रीष्मकालीन कपड़े में, बुलेवार्ड की धूल वाली पत्तियों में, बटालियन के संगीत और सफेद पल्सियंस की आवाज़ में, फुटपाथ की गर्जन में और गर्म धूप की उज्ज्वल प्रतिभा थी कि ग्रीष्मकालीन टॉम्रेसियन, संतुष्टि और वर्तमान के साथ असंतोष था, जो विशेष रूप से एक स्पष्ट गर्म दिन में महसूस किया जाता है Faridabad। कारण से चर्च पूरी तरह से मॉस्को, सभी परिचित विकास (इस साल, जैसा कि यह था, कुछ इंतजार कर रहा था, बहुत से समृद्ध परिवार, जो आम तौर पर गांवों के चारों ओर यात्रा करते थे, शहर में बने रहे)। Livrayny Lacey के पीछे गुजर रहा है, जो एक माँ, नताशा की आवाज की भीड़ फैल गया नव युवक, बहुत जोरदार कानाफूसी जो उसके बारे में बात की:
- यह रोस्तोव है, वही ...
- वजन कितना खो गया, और अभी भी अच्छा है!
उसने सुना, या ऐसा लगता था कि कुरागिन और बोल्कोन्स्की के नामों का उल्लेख किया गया था। हालांकि, यह हमेशा उसे लग रहा था। वह हमेशा लगती थी कि सबकुछ, उसे देखकर, केवल उसके बारे में सोचता है कि उसके साथ क्या हुआ। पीड़ित और शॉवर में चुप होकर, हमेशा भीड़ में, नताशा काले फीता पोशाक के साथ अपने लिलाक रेशम में गई क्योंकि महिलाएं चल सकती हैं, अधिक शांत और सबसे बड़ा, अधिक दर्दनाक और शर्मीली उसकी आत्मा पर थी। वह जानती थी और गलत नहीं थी कि वह अच्छी थी, लेकिन यह पहले के रूप में उससे खुश नहीं थी। इसके विपरीत, यह हाल ही में और विशेष रूप से शहर में इस उज्ज्वल, गर्म गर्मी के दिन में फेंक दिया। उसने कहा, "रविवार अभी भी एक हफ्ते है," उसने खुद से कहा, याद करते हुए कि वह रविवार को यहां कैसे थी, "और जीवन के बिना वही जीवन, और सभी समान स्थितियां जिनमें पहले रहना इतना आसान था। अच्छा, युवा, और मैं जानता हूं कि अब मैं बुरा होने से पहले अच्छा हूं, और अब मैं अच्छा हूं, मुझे पता है, उसने सोचा, - और किसी के लिए, किसी के लिए, किसी के लिए, सर्वोत्तम वर्षों के लिए। " वह मां के पास बन गई और करीबी परिचित के साथ स्थानांतरित हो गई। नताशा की आदत की आदत ने महिलाओं के शौचालयों की समीक्षा की, टेन्यू [तरीके को पकड़ने के लिए] की निंदा की और एक बारीकी से खड़े महिलाओं की एक छोटी सी जगह पर अपने हाथ से बपतिस्मा लेने का अश्लील तरीका, फिर से परेशानियों के बारे में सोचा कि उनके बारे में क्या विचार किया गया था उसे कि वह न्याय कर रही थी, और अचानक, सेवा की आवाज़ सुनकर, यह उनके घृणा से भयभीत था, भयभीत था कि पूर्व स्वच्छता फिर से खो गई थी।
प्रभावित, शांत बूढ़े आदमी उस नम्रता के साथ परोसा जाता है, जो प्रार्थना करने की आत्माओं पर बहुत अच्छा, सुखदायक कार्य करता है। त्सारिस्ट दरवाजे बाहर निकल गए, घूंघट धीरे-धीरे; रहस्यमय शांत आवाज ने वहां से कुछ कहा। उसके लिए अस्पष्ट सबसे अधिक आँसू नताशा की छाती में खड़े थे, और आनंददायक और फाड़ने की भावना चिंतित थी।
"मुझे सिखाओ कि क्या करना है, मुझे हमेशा के लिए सही कैसे करें, हमेशा के लिए, मैं अपने जीवन के साथ कैसे हो सकता हूं ..." उसने सोचा।
डायकॉन अम्वन, सीधा, व्यापक रूप से चला गया अंगूठे, पोकरी के नीचे से लंबे बाल और, अपनी छाती पर एक क्रॉस डालते हुए, जोर से और गंभीरता से प्रार्थना के शब्दों को पढ़ना शुरू कर दिया:
- "दुनिया यहोवा से प्रार्थना करेगी।"
"दुनिया," सभी एक साथ, संपत्तियों में अंतर के बिना, शत्रुता के बिना, और संयुक्त सैन्य प्रेम - हम प्रार्थना करेंगे, "नताशा ने सोचा।
- कम दुनिया के बारे में और हमारे शॉवर को बचाने के बारे में!
नताशा ने प्रार्थना की, "स्वर्गदूतों और सभी असहनीय जीवों की आत्माओं की दुनिया पर," नताशा ने प्रार्थना की।
जब उन्होंने मेजबान के लिए प्रार्थना की, तो उसने भाई और डेनिसोव को याद किया। जब उन्होंने तैरने और यात्रा के लिए प्रार्थना की, तो उसने प्रिंस एंड्रयू को याद किया और उसके लिए प्रार्थना की, और भगवान के लिए प्रार्थना की कि उसने उसे उस बुराई को माफ कर दिया। जब उन्होंने उन लोगों के लिए प्रार्थना की, जो हमसे प्यार करते हैं, तो उसने अपने घर के लिए प्रार्थना की, अपने पिता, मां, पुत्र के बारे में, पहली बार अब उनके सभी अपराधों को उनके सामने समझ लिया और उनके लिए अपने प्यार की शक्ति महसूस कर ली। जब उन्होंने हमें नफरत करने के लिए प्रार्थना की, तो वह अपने दुश्मनों के साथ आए और उनके लिए प्रार्थना करने के लिए नफरत की। वह लेनदारों के दुश्मनों और उन सभी के साथ रैंक करती है जो अपने पिता के साथ सौदा करते हैं, और हर बार दुश्मनों के विचार के साथ और नफरत करते थे, उन्होंने अनातोल को याद किया, जिन्होंने इसे इतना बुराई बना दी, और हालांकि उन्हें नफरत नहीं हुई, उसने खुशी से प्रार्थना की। उसे दुश्मन के रूप में। केवल प्रार्थना पर, वह स्पष्ट रूप से और शांतिपूर्वक राजकुमार आंद्रेई के बारे में याद रखती है, और अनातोल के बारे में और साथ ही साथ लोगों को डरने और भगवान के प्रति सम्मान की तुलना में उनकी भावनाओं से नष्ट कर दिया गया था। जब मैंने शाही उपनाम और सिनोद के लिए प्रार्थना की, तो वह विशेष रूप से कम और बपतिस्मा लेती थीं, कि, अगर वह समझ में नहीं आई, तो वह संदेह नहीं कर सका और अभी भी सरकार की सरकार से प्यार करता है और उसके लिए प्रार्थना करता है।
नीले रंग से स्नातक होने के बाद, डायकॉन ने छाती के चारों ओर स्कार्फ पार कर लिया और कहा:
- "खुद और पेट हमारे मसीह भगवान को व्यक्त करेंगे।"
"हम भगवान को खुद को स्वीकार करेंगे," नताशा ने अपनी आत्मा में दोहराई। "मेरे भगवान, मैं आपकी इच्छा बनने का नाटक करता हूं," उसने सोचा। - मैं कुछ नहीं चाहता, मैं नहीं चाहता; मुझे सिखाओ क्या करना है, मेरी इच्छा का उपयोग कहां करें! हाँ, मुझे ले लो, मुझे ले लो! - नताशा ने आत्मा में एक घुड़सवार अधीरता के साथ बात की, छीलने, अपने पतले हाथों को कम करने के लिए और अगर उम्मीद कर रहे हैं कि यह उसे लेने के लिए अदृश्य शक्ति है और उसे अपने पछतावा, इच्छाओं, दोचे, उम्मीदों और vices से छुटकारा पाता है।
सेवा के दौरान कई बार काउंटेस ने पराजित की, शानदार आंखों के साथ, अपनी बेटी का चेहरा और भगवान से प्रार्थना की कि उसने उसकी मदद की।

परिभाषा 1. अभाज्य संख्या - यह एक इकाई से अधिक प्राकृतिक संख्या है जो केवल खुद को और 1 में विभाजित है।

दूसरे शब्दों में, संख्या सरल है यदि केवल दो अलग-अलग प्राकृतिक विभाजक हैं।

परिभाषा 2. कोई भी प्राकृतिक संख्या जो अन्य विभाजियों के अन्य विभाजक भी हैं एक घटक संख्या।

दूसरे शब्दों में, प्राकृतिक संख्याएं जो साधारण संख्या नहीं हैं उन्हें समग्र कहा जाता है। परिभाषा 1 से यह इस प्रकार है कि समग्र संख्या में दो से अधिक प्राकृतिक विभाजक हैं। संख्या 1 न तो सरल या समग्र है क्योंकि इसमें केवल एक विभक्त 1 है और इसके अलावा, प्राइम नंबरों के सापेक्ष कई प्रमेय के पास एक के लिए जगह नहीं है।

परिभाषाओं 1 और 2 का यह इस प्रकार है कि प्रत्येक संपूर्ण सकारात्मक संख्या 1 से अधिक है या तो एक साधारण या निरंतर संख्या है।

नीचे 5000 तक प्राइम नंबर प्रदर्शित करने के लिए एक प्रोग्राम है। कोशिकाओं को भरें, "बनाएं" बटन पर क्लिक करें और कुछ सेकंड प्रतीक्षा करें।

प्रधान संख्या की तालिका

बयान 1. यदि एक पी - एक साधारण संख्या और ए। कोई भी पूर्णांक, तो या तो ए। द्वारा विभाजित पीभी पी तथा ए। पारस्परिक रूप से सरल संख्या।

सच में। यदि एक पी एक साधारण संख्या, तो यह केवल अपने आप को विभाजित किया गया है और 1, यदि ए। द्वारा विभाजित नहीं किया गया पी, फिर सबसे बड़ा आम विभाजक ए। तथा पी 1 के बराबर पी तथा ए। पारस्परिक रूप से सरल संख्या।

बयान 2. यदि कई संख्या संख्या का उत्पाद ए। 1 , ए। 2 , ए। 3, ... एक साधारण संख्या में बांटा गया है पीफिर कम से कम एक संख्या ए। 1 , ए। 2 , ए। 3, ... में विभाजित है पी.

सच में। यदि किसी भी संख्या में विभाजित नहीं किया गया था पीसंख्या ए। 1 , ए। 2 , ए। 3, ... संबंध में पारस्परिक रूप से सरल संख्या होगी पी। लेकिन जांच से 3 () यह उनके काम का पालन करता है ए। 1 , ए। 2 , ए। 3, ... परस्पर भी सरल है पीअनुमोदन की स्थिति का विरोधाभास क्या करता है। नतीजतन, कम से कम एक संख्या में विभाजित है पी.

प्रमेय 1. किसी भी समग्र संख्या को हमेशा प्राइम नंबरों की परिमित संख्या के रूप में एकमात्र तरीके से दर्शाया जा सकता है।

साक्ष्य। रहने दो क। समग्र संख्या और चलो ए। 1 उनके divisors में से एक 1 और खुद से अलग है। यदि एक ए। 1 समग्र, फिर यह 1 और है ए। 1 और एक और विभक्त ए। 2। यदि एक ए। समग्र संख्या, इसमें 1 और भी है ए। 2 और एक और विभक्त ए। 3। बहस करना और उस संख्या पर विचार करना ए। 1 , ए। 2 , ए। 3, ... कमी और इस श्रृंखला में सदस्यों की एक सीमित संख्या है, हम किसी प्रकार की सरल संख्या तक पहुंच जाएंगे पी एक । फिर क। के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

मान लीजिए कि संख्या के दो अपघटन हैं क।:

जैसा के \u003d पी। 1 पी 2 पी 3 ... एक साधारण संख्या में बांटा गया है प्र 1, कम से कम एक गुणक, उदाहरण के लिए पी 1 शेयर प्र एक । परंतु पी 1 सरल संख्या और केवल 1 और अपने आप को विभाजित करता है। इसलिये पी 1 =प्र 1 (क्योंकि प्र 1 ≠1)

फिर (2) से बाहर रखा जा सकता है पी 1 I प्र 1:

इस तरह, हम आश्वस्त हैं कि पहले अपघटन में आने वाले गुणक की कोई भी सरल संख्या एक या कई बार है, और कम से कम एक ही समय के दूसरे अपघटन में और इसके विपरीत, किसी भी साधारण संख्या जो गुणक दूसरे अपघटन में प्रवेश करती है एक या कई बार और न्यूनतम समय के पहले अपघटन में है। नतीजतन, किसी भी साधारण संख्या में दोनों अपघटनों में एक गुणक समान संख्या में होते हैं और इस प्रकार, इन दो अपघटन समान होते हैं। ■

एक यौगिक संख्या का अपघटन क। निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

(3)

कहा पे पी 1 , पी 2, ... विभिन्न सरल संख्या, α, β, γ ... पूरी सकारात्मक संख्या।

अपघटन (3) कहा जाता है कैनोनिकल अपघटन संख्या।

प्राकृतिक संख्याओं की एक पंक्ति में सरल संख्या असमान रूप से मिली है। श्रृंखला के कुछ हिस्सों में, दूसरों में - कम। आगे हम संख्यात्मक पंक्ति के चारों ओर घूम रहे हैं, कम सरल संख्याएं हैं। सवाल उठता है, क्या कोई सबसे बड़ा सरल संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिडा ने साबित किया कि सरल संख्याएं असीम रूप से बहुत हैं। नीचे हम इस प्रमाण को पेश करेंगे।

प्रमेय 2. सरल संख्याओं की संख्या असीम रूप से बहुत कुछ है।

साक्ष्य। मान लीजिए कि प्राइम नंबरों की एक सीमित संख्या है, और सबसे सरल संख्या बराबर है पी। सभी संख्याओं पर विचार करें पी। अनुमोदन की धारणा से, इन संख्याओं को समग्र होना चाहिए और कम से कम एक प्राइम नंबरों में विभाजित किया जाना चाहिए। वह संख्या चुनें जो इन सभी सरल संख्याओं का उत्पाद प्लस 1:

संख्या जेड अधिक पी जैसा 2 पी। पहले से और अधिक पी. पी यह इन सरल संख्याओं में से एक में विभाजित नहीं है, क्योंकि उनमें से प्रत्येक के लिए विभाजित होने पर अवशेष 1 देता है। इसलिए हम विरोधाभास में आते हैं। इसलिए, अनगिनत सरल संख्याएं हैं।

यह प्रमेय अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला है:

प्रमेय 3. अंकगणितीय प्रगति पूछता है

फिर किसी भी साधारण संख्या में शामिल था एनदर्ज करना चाहिए और में म।, इसलिए बी। एन कोई अन्य साधारण कारक नहीं हैं जिनमें शामिल नहीं हैं म। और इसके अलावा, इन साधारण कारकों में एन से एक बार से अधिक नहीं है म।.

निष्पक्ष और उल्टा। यदि हर साधारण संख्या गुणक एन संख्या में कम से कम कई बार शामिल हैं म।टी म। द्वारा विभाजित एन.

बयान 3. रहने दो ए। 1 ,ए। 2 ,ए। 3, ... में विभिन्न सरल संख्या शामिल हैं म। ताकि

कहा पे मैं।=0,1,...α , जे।=0,1,...,β , के \u003d 0,1, ..., γ । नोटिस जो α I. स्वीकार करना α +1 मान β जे स्वीकार करता है β +1 मान γ k स्वीकार करता है γ +1 मान, ....

जिसमें केवल 2 अलग-अलग प्राकृतिक विभाजक हैं। यदि आप अलग-अलग कहते हैं, तो संख्या पी तब यह सरल होगा जब यह एक से अधिक है और केवल एक और स्वयं में विभाजित किया जा सकता है - पी.

प्राकृतिक संख्या, बड़ी इकाइयों और संख्याएं जो सरल नहीं हैं, बुलाई गई हैं समग्र संख्या। तो, सभी प्राकृतिक संख्याओं को 3 वर्गों में विभाजित किया गया है: एक इकाई (1 विभक्त है), साधारण संख्या (2 विभाजक हैं) और समग्र संख्या (2 से अधिक विभाजक हैं)।

प्रारंभ पी। प्राइम नंबरों की संधि ऐसा लगता है:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

यदि आप प्राकृतिक संख्याओं को सरल के टुकड़े के रूप में प्रस्तुत करते हैं, तो इसे सरल या पर अपघटन कहा जाएगा संख्या का कारक।

सबसे बड़ी सरल संख्या जो ज्ञात है।

सबसे प्रसिद्ध सरल संख्या 2 57885161 है - 1. इस संख्या में 17,425 170 दशमलव संख्याएं हैं और इसे एक सरल कहा जाता है संख्या मेरमना (एम 57885161)।

प्राइम नंबरों के कुछ गुण।

मान लीजिए पी - सरल और पी डेलिट अब, तब फिर पी डेलिट ए। या बी.

कटौती की अंगूठी जेड एन।केवल फ़ील्ड कहा जाएगा अगर एन - सरल।

सभी क्षेत्रों की विशेषता शून्य या एक साधारण संख्या है।

कब पी - सरल, और ए। - प्राकृतिक, इसका मतलब है एक पी-ए।द्वारा विभाजित किया जा सकता है पी (छोटे खेत प्रमेय).

कब जी - अंतिम समूह, जिसका आदेश है | जी | विभाजित करना पीइसलिए, जी आदेश का एक तत्व है पी (कौची प्रमेय).

कब जी - परिमित समूह, और पी एन - उच्चतम डिग्री पीभाग देनेवाला | जी |इसलिए, जी आदेश का एक उपसमूह है पी एनजिसे एक सिलो उपसमूह कहा जाता है, इसके अलावा, सिलो उपसमूहों की संख्या से मेल खाती है पीके + 1। कुछ पूर्णांक के लिए क। (प्रमेय सिलोवा)।

प्राकृतिक p\u003e 1। केवल सरल होगा अगर (पी -1)! + 1। आप डाल सकते हैं पी (विल्सन प्रमेय).

कब n\u003e 1। - प्राकृतिक, इसका मतलब है कि एक सरल है पी: एन< p < 2 n (बेरान को पोस्ट करें).

कई संख्याएं जो सरल, विचलन के लिए उलट जाती हैं। इसके अलावा, कब

किसी भी अंकगणितीय प्रकार की प्रगति ए, ए + क्यू, ए + 2 क्यू, ए + 3 क्यू, ... कहां है ए, क्यू\u003e 1 - पूरा का पूरा पारस्परिक रूप से सरल संख्या , एक अंतहीन संख्या संख्या में शामिल हैं ( अंकगणितीय प्रगति में सरल संख्याओं पर Dirichlet प्रमेय).

किसी भी सरल संख्या जो अधिक ट्रोका के रूप में दर्शाया जा सकता है 6k + 1।या 6k-1कहां है क। - प्राकृतिक संख्या। इसके आधार पर जब कई लगातार सरल संख्याओं के बीच का अंतर (जब k\u003e 1।) वही, इसका मतलब है कि यह बिल्कुल छह में विभाजित है - उदाहरण के लिए: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

कब पी\u003e 3।- एक साधारण संख्या, इसका मतलब है पी 2 -1।द्वारा विभाजित 24 (विषम संख्याओं पर काम करता है जो तीन में विभाजित नहीं होते हैं)।

ग्रीन ताओ प्रमेय। अंतहीन अंकगणितीय प्रगति होती है जिसमें साधारण संख्या होती है।

एन के -1।कहां है एन\u003e 2, के\u003e 1। दूसरे शब्दों में, जो संख्या सरल होती है वह एक वर्ग या उच्च डिग्री नहीं हो सकती है जो आधार के साथ दो से अधिक है। यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि जब एक साधारण संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है 2 के -1।इसलिए क। - सरल।

किसी भी साधारण संख्या की कल्पना नहीं की जा सकती N 2k + 1 +1कहां है n\u003e 1, k\u003e 0। दूसरे शब्दों में, जो संख्या सरल है, वह एक घन या एक आधार के साथ एक उच्च विषम डिग्री नहीं हो सकती है जो एक से अधिक है।

ऐसे बहुपद हैं जिनमें चर के सकारात्मक मूल्यों के साथ कई गैर-नकारात्मक मूल्य प्राइम नंबरों की बहुलता के साथ मेल खाते हैं। उदाहरण:

इस बहुपद में 26 चर होते हैं, 25 हैं। प्रस्तुत प्रपत्र के ज्ञात बहुपदों के लिए सबसे कम डिग्री 42 चर पर पांच है; चर की सबसे छोटी मात्रा लगभग 1.6 · 10 45 की डिग्री से दस है।

सरल संख्या के साथ कार्रवाई।

1. प्राइम नंबरों का काम।

2. प्रमुख संख्याओं का अंतर।

3. प्रमुख संख्याओं का योग।

4. प्रमुख संख्याओं का प्रतिनिधिमंडल।

इस लेख में हम अध्ययन करेंगे सरल और समग्र संख्या। सबसे पहले, हम सरल और घटक संख्याओं की परिभाषा देंगे, साथ ही साथ उदाहरण देंगे। उसके बाद, हम साबित करते हैं कि सरल संख्याएं असीम हैं। इसके बाद, हम प्राइम नंबरों की एक तालिका लिखते हैं, और प्राइम नंबरों की एक तालिका तैयार करने के तरीकों पर विचार करते हैं, हम विशेष रूप से उस विधि में पूरी तरह से निर्वहन करेंगे जो रूट्टो इरैटोस्फेन का नाम प्राप्त करेगा। अंत में, हम हाइलाइट्स को हाइलाइट करेंगे जिन्हें प्रमाण में ध्यान में रखा जाना चाहिए कि यह संख्या सरल या समग्र है।

नेविगेटिंग पेज।

सरल और समग्र संख्या - परिभाषाएं और उदाहरण

अवधारणाएं सरल संख्या और समग्र संख्याएं किसकी इकाइयां हैं। ऐसे पूर्णांक, उनके सकारात्मक विभाजकों की संख्या के आधार पर, सरल और घटक संख्या में विभाजित होते हैं। तो समझने के लिए सरल और घटक संख्या की परिभाषाएं, आपको अच्छी तरह से कल्पना करने की ज़रूरत है कि डिवाइडर और गुणक क्या हैं।

परिभाषा।

साधारण संख्या - ये पूर्णांक हैं, बड़ी इकाइयां जिनमें केवल दो सकारात्मक विभाजक हैं, अर्थात् स्वयं और 1।

परिभाषा।

समग्र संख्या - ये पूर्णांक हैं, बड़ी इकाइयां जिनके पास कम से कम तीन सकारात्मक विभाजक हैं।

अलग-अलग, हम ध्यान देते हैं कि संख्या 1 किसी भी सरल, न ही यौगिक संख्याओं पर लागू नहीं होता है। इकाई में केवल एक सकारात्मक विभाजक है, जो नंबर 1 ही है। यह संख्या 1 अन्य सभी संपूर्ण सकारात्मक संख्याओं से अलग है जिनके पास कम से कम दो सकारात्मक विभाजक हैं।

यह मानते हुए कि पूरी सकारात्मक संख्याएं हैं, और इकाई में केवल एक सकारात्मक विभाजक है, सामान्य और घटक संख्याओं की आवाज वाली परिभाषाओं के अन्य सूत्रों को दिया जा सकता है।

परिभाषा।

साधारण संख्या प्राकृतिक संख्याओं को कॉल करें जिनमें केवल दो सकारात्मक विभाजक हैं।

परिभाषा।

समग्र संख्या वे दो सकारात्मक विभाजक से अधिक प्राकृतिक संख्याओं को बुलाते हैं।

ध्यान दें कि हर संपूर्ण सकारात्मक संख्या, अधिक इकाइयां, या तो एक साधारण या समग्र संख्या है। दूसरे शब्दों में, ऐसी कोई पूरी संख्या नहीं है जो सामान्य या समग्र नहीं हो सकती थी। यह विभाज्यता की संपत्ति से आता है, जो बताता है कि संख्या 1 और ए हमेशा किसी भी पूर्णांक के विभाजक होते हैं।

पिछले पैराग्राफ की जानकारी के आधार पर, आप संविधान संख्याओं की निम्नलिखित परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा।

प्राकृतिक संख्याएं जो सरल नहीं हैं, बुलाई गई हैं यौगिक.

यहाँ सरल और घटक संख्या के उदाहरण.

संविधान संख्याओं के उदाहरणों के रूप में, हम 6, 63, 121 और 6,697 देते हैं। इस कथन को स्पष्टीकरण की भी आवश्यकता है। संख्या 6 के पास सकारात्मक विभाजक 1 और 6 और अधिक और डिवाइडर 2 और 3 के अलावा, 6 \u003d 2 · 3 के बाद से, इसलिए 6 वास्तव में एक समग्र संख्या है। सकारात्मक विभाजक 63 संख्या 1, 3, 7, 9, 21 और 63 हैं। संख्या 121 उत्पाद 11 · 11 के बराबर है, इसलिए इसके सकारात्मक विभाजक 1, 11 और 121 हैं। और संख्या 6,697 समग्र है, क्योंकि 1 और 6,697 को छोड़कर इसके सकारात्मक विभाजक भी संख्या 37 और 181 हैं।

इस आइटम के समापन में, मैं अभी भी इस तथ्य पर ध्यान देना चाहता हूं कि सरल संख्या और पारस्परिक रूप से सरल संख्याएं बहुत दूर हैं।

प्रधान संख्या की तालिका

सरल संख्या, उनके आगे के उपयोग की सुविधा के लिए, तालिका में लिखे गए हैं, जिन्हें प्राइम नंबरों की तालिका कहा जाता है। नीचे प्रस्तुत किया गया है प्रधान संख्या की तालिका 1 000 तक।

एक तार्किक प्रश्न है: "हमने केवल 1,000 तक की प्रमुख संख्याओं की तालिका क्यों भरी, क्या आप सभी मौजूदा सरल संख्याओं की तालिका नहीं बनाये"?

इस मुद्दे के पहले भाग के लिए पहले उत्तर दें। अधिकांश कार्यों के लिए, जब सरल संख्याओं का उपयोग करना आवश्यक है, तो हम एक हजार के भीतर काफी सरल संख्याएं होंगे। अन्य मामलों में, सबसे अधिक संभावना है, आपको किसी भी विशेष निर्णय का सहारा लेना होगा। हालांकि, निस्संदेह, हम एक मनमाने ढंग से बड़े अंतिम पूर्णांक सकारात्मक संख्या में प्रमुख संख्याओं की एक तालिका तैयार कर सकते हैं, यह अगले अनुच्छेद में 10,000 या 1,000,000,000 हो, हम विशेष रूप से, हम प्राइम नंबरों की तालिकाओं को चित्रित करने के तरीकों के बारे में बात करेंगे। नामक विधि का विश्लेषण करेगा।

अब हम इसे संभावना के साथ समझेंगे (या सभी मौजूदा सरल संख्याओं की तालिका को संकलित करने में असमर्थता के साथ। हम सभी प्राइम नंबरों की एक तालिका नहीं खींच सकते हैं, क्योंकि सरल संख्या असीम रूप से बहुत कुछ है। अंतिम बयान वह प्रमेय है जिसे हम अगले सहायक प्रमेय के बाद साबित करते हैं।

प्रमेय।

एक प्राकृतिक संख्या के 1 विभाजक से सबसे छोटा सकारात्मक और अलग, एक बड़ी इकाई, एक साधारण संख्या है।

साक्ष्य।

रहने दो ए - एक प्राकृतिक संख्या, अधिक इकाइयां, और बी - संख्या का सबसे छोटा सकारात्मक और अलग-अलग विभक्त। हम साबित करते हैं कि बी विपरीत से विधि द्वारा एक साधारण संख्या है।

मान लीजिए कि बी एक समग्र संख्या है। फिर संख्या बी का एक विभाजक मौजूद है (इसे बी 1 को दर्शाता है), जिसे 1 और बी से अलग किया जाता है। यह भी ध्यान दें कि विभक्त का पूर्ण मूल्य विभाजन के पूर्ण मूल्य से अधिक नहीं है (यह हम विभाज्यता के गुणों से जानते हैं), तो स्थिति 1 की जानी चाहिए

चूंकि संख्या ए को स्थिति के तहत बी में विभाजित किया गया है, और हमने कहा कि बी को बी 1 में बांटा गया है, विभाजन की अवधारणा हमें इस तरह के पूर्णांक क्यू और क्यू 1 के अस्तित्व के बारे में बात करने की अनुमति देती है, कि ए \u003d बी · क्यू और बी \u003d बी 1 · क्यू 1 जहां ए \u003d बी 1 · (क्यू 1 · क्यू)। यह इस प्रकार है कि दो पूर्णांक का उत्पाद एक पूर्णांक है, फिर समानता ए \u003d बी 1 · (क्यू 1 · क्यू) इंगित करता है कि बी 1 संख्या ए का विभाजक है। उपरोक्त असमानता 1 को देखते हुए

अब हम साबित कर सकते हैं कि सरल संख्या असीम रूप से बहुत कुछ है।

प्रमेय।

सरल संख्या असीम रूप से बहुत कुछ है।

साक्ष्य।

मान लीजिए यह नहीं है। यही है, मान लीजिए कि केवल एन टुकड़ों की सरल संख्याएं, और ये सरल संख्या पी 1, पी 2, ..., पी एन हैं। हम दिखाएंगे कि हम इंगित किए गए लोगों के अलावा हमेशा एक साधारण संख्या पा सकते हैं।

संख्या पर विचार करें, पी पी 1 के बराबर पी 2 · ... · पी एन +1। यह स्पष्ट है कि यह संख्या प्रत्येक साधारण संख्या पी 1, पी 2, ..., पी एन से अलग है। यदि संख्या पी एक साधारण है, तो प्रमेय साबित हुआ है। यदि यह संख्या समग्र है, तो पिछले प्रमेय के आधार पर इस संख्या का एक साधारण विभक्त है (हम इसे एन + 1 को इंगित करते हैं)। हम दिखाते हैं कि यह विभक्त किसी भी संख्या पी 1, पी 2, ..., पी एन के साथ मेल नहीं खाता है।

यदि यह ऐसा नहीं था, तो विभाज्यता के गुणों के अनुसार, उत्पाद पी 1 · पी 2 · ... · पी एन पी एन + 1 पर साझा किया जाएगा। लेकिन पी एन + 1 पर, संख्या पी बराबर पी 1 के बराबर पी 2 · ... · पी एन +1 विभाजित है। यह इस प्रकार है कि पी एन + 1 पर इस राशि की दूसरी अवधि साझा करनी चाहिए, जो एक के बराबर है, और यह असंभव है।

यह साबित हुआ है कि एक नया सरल संख्या हमेशा मिल सकती है, निर्दिष्ट सरल संख्या की किसी भी मात्रा के अनुरूप नहीं। नतीजतन, सरल संख्या असीम रूप से बहुत कुछ है।

इसलिए, इस तथ्य के आधार पर कि सरल संख्याएं असीम रूप से कई हैं, प्राइम नंबरों की तालिकाओं की तैयारी में हमेशा किसी भी संख्या, आमतौर पर, 100, 1,000, 10,000 आदि द्वारा खुद को सीमित कर देती है।

Swelto eratosthen

अब हम प्राइम नंबरों की तालिकाओं को आकर्षित करने के तरीकों पर चर्चा करेंगे। मान लीजिए कि हमें 100 तक प्राइम नंबरों की एक तालिका बनाने की आवश्यकता है।

इस समस्या को हल करने का सबसे स्पष्ट तरीका सकारात्मक संख्या के पूर्णांकों की एक सतत जांच है, जो सकारात्मक विभाजक की उपस्थिति के लिए 2 से शुरू होता है, और 100 समाप्त होता है, जो 1 से अधिक है और संख्या की संख्या से कम है (हम से जानते हैं विभाज्यता के गुण जो विभाजक का पूर्ण मूल्य शून्य से अलग विभाजन के पूर्ण मूल्य से अधिक नहीं है)। यदि ऐसा विभाजक नहीं मिला है, तो संख्या सत्यापित करने योग्य सरल है, और इसे प्राइम नंबरों की तालिका में दर्ज किया गया है। यदि ऐसा विभाजक पाया जाता है, तो संख्या संख्या समग्र है, इसे प्राइम नंबरों की तालिका में दर्ज नहीं किया गया है। उसके बाद, अगले नंबर पर एक संक्रमण होता है, जिसे विभाजक की उपस्थिति के लिए समान रूप से चेक किया जाता है।

हम कुछ पहले चरणों का वर्णन करते हैं।

हम संख्या 2 से शुरू करते हैं। 1 और 2 को छोड़कर, संख्या 2 में सकारात्मक विभाजक नहीं हैं। नतीजतन, यह आसान है, इसलिए, हम इसे प्राइम नंबरों की एक तालिका में प्रवेश करते हैं। यहां यह कहा जाना चाहिए कि 2 सबसे छोटा सरल संख्या है। नंबर 3 पर जाएं। इसके संभावित सकारात्मक विभाजक, 1 और 3 से अलग, संख्या 2 है। लेकिन 2 पर 3 विभाजित नहीं है, इसलिए, 3 एक साधारण संख्या है, और इसे प्राइम नंबरों की तालिका में भी जोड़ा जाना चाहिए। नंबर 4 पर जाएं। 1 और 4 के अलावा इसके सकारात्मक विभाजक संख्या 2 और 3 हो सकते हैं, उन्हें जांचें। संख्या 4 को 2 में विभाजित किया गया है, इसलिए, 4 एक समग्र संख्या है, और इसे प्राइम नंबरों की तालिका में जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। हम इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित करते हैं कि 4 सबसे छोटा समग्र संख्या है। नंबर 5 पर जाएं। हम जांचते हैं कि इसका विभेदक कम से कम संख्या 2, 3, 4 में से एक है या नहीं। चूंकि 5 किसी भी 2, 3 में से कोई भी साझा नहीं करता है, न ही 4, फिर यह आसान है, और इसे प्राइम नंबरों की तालिका में दर्ज किया जाना चाहिए। फिर संख्या 6, 7, और 100 पर संक्रमण।

प्राइम नंबरों की एक तालिका की तैयारी के लिए यह दृष्टिकोण आदर्श से बहुत दूर है। एक या दूसरे तरीके से, उसे अस्तित्व का अधिकार है। ध्यान दें कि पूर्णांक की एक तालिका बनाने की विधि के साथ, विभाज्यता के संकेतों का उपयोग करना संभव है जो विभाजकों को खोजने की प्रक्रिया को थोड़ा तेज करता है।

प्राइम नंबरों की एक तालिका को संकलित करने का एक और सुविधाजनक तरीका है, जिसे बुलाया जाता है। शीर्षक में मौजूद "सॉलिडो" शब्द आकस्मिक नहीं है, क्योंकि इस विधि के कार्य सॉलिडो इरैटोस्फन पूर्णांक के माध्यम से "sift" करने में मदद करते हैं, बड़ी इकाइयों को समग्र से सरल अलग करने के लिए।

50 तक प्राइम नंबरों की एक तालिका तैयार करते समय हम इरैटोस्फेन लैटून को कार्रवाई करेंगे।

सबसे पहले, संख्या 2, 3, 4, ..., 50 के क्रम को लिखें।

पहला रिकॉर्ड किया गया नंबर 2 सरल है। अब संख्या 2 से, हम दो संख्याओं के लिए दाईं ओर दाईं ओर चले गए और इन नंबरों को तब तक स्ट्रोक करते हैं जब तक कि हम संख्याओं की तालिका के अंत तक नहीं पहुंच जाते। इसलिए उन्हें सभी संख्याओं को पार किया जाएगा, एकाधिक दो।

2 असुरक्षित संख्या में पहला अगला 3 है। यह एक साधारण संख्या है। अब संख्या 3 से हम तीन संख्याओं के दाईं ओर जाने के दाएं (पहले से ही पार किए गए नंबरों को ध्यान में रखते हुए) और उन्हें बाहर निकाल देते हैं। तो सभी संख्याएं, एकाधिक तीन, हटा दिए जाएंगे।

3 असुरक्षित संख्या के बगल में पहला 5 है। यह एक साधारण संख्या है। अब संख्या 5 से लगातार 5 संख्याओं के लिए आगे बढ़ें (हम पहले की संख्या को ध्यान में रखते हुए) और उन्हें हड़ताल करते हैं। यह सभी संख्याओं को पार कर दिया जाएगा, एकाधिक पांच।

इसके अलावा, संख्याओं को पार करें, एकाधिक 7, फिर एकाधिक 11 और इसी तरह। प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब हड़ताल करने के लिए कोई संख्या नहीं होती है। इरैटोस्फेन सोल का उपयोग करके प्राप्त 50 तक प्राइम नंबर की पूरी तालिका नीचे दी गई है। सभी अनजान संख्या सरल हैं, और सभी पारित संख्या समग्र हैं।

आइए अभी भी प्रमेय तैयार करें और साबित करें जो EratoSthene एकल का उपयोग कर प्राइम नंबरों की एक तालिका तैयार करने की प्रक्रिया को तेज करेगा।

प्रमेय।

एक घटक संख्या का सबसे छोटा सकारात्मक और अलग-अलग विभक्त जहां से अधिक नहीं होता है - ए से।

साक्ष्य।

हम एक घटक संख्या के सबसे छोटे और अलग-अलग विभाजक के अक्षर बी को दर्शाते हैं (संख्या बी सरल है, जो प्रमेय से पिछले अनुच्छेद की शुरुआत में साबित हुआ है)। फिर ऐसा एक पूर्णांक प्रश्न है कि ए \u003d बी · क्यू (यहां क्यू एक सकारात्मक पूर्णांक है, जो पूर्णांक के गुणा के नियमों से पालन करता है), और स्थिति का उल्लंघन होगा कि बी संख्या ए का सबसे छोटा विभाजक है, क्योंकि क्यू आईटी समानता के कारण संख्या ए का एक विभेद भी है a \u003d q · b)। सकारात्मक और अधिक इकाई पूर्णांक बी (इसे करने की अनुमति देने की अनुमति है) पर असमानता के दोनों हिस्सों को गुणा करना, हमें कहां से मिलता है।

इरैटोस्फन चलनी के बारे में हमें एक सिद्ध प्रमेय क्या देता है?

सबसे पहले, घटकों का स्ट्राइक, एकाधिक सरल संख्या बी, को बराबर संख्या के साथ शुरू किया जाना चाहिए (यह असमानता से निम्नानुसार है)। उदाहरण के लिए, स्ट्राइकआउट नंबर, एकाधिक दो, संख्या 4, एकाधिक तीन के साथ शुरू किया जाना चाहिए - संख्या 9, एकाधिक पांच के साथ - संख्या 25 के साथ, और इसी तरह।

दूसरा, Eratosphen समाधान का उपयोग कर संख्या एन में प्राइम नंबरों की तालिका का संकलन पूर्ण माना जा सकता है जब सभी घटकों को हटा दिया जाता है, एकाधिक संख्याओं के साथ एकाधिक नहीं है। हमारे उदाहरण में एन \u003d 50 (चूंकि हम 50 से प्राइम नंबरों की एक तालिका का गठन करते हैं) और इसलिए, इरैटोस्फेन सभी घटकों द्वारा तय किया जाता है, सरल संख्या 2, 3, 5, और 7 के कई, जो अंकगणित से अधिक नहीं होते हैं 50 का वर्गमूल। यही है, इसे खोज और क्रॉसिंग नंबरों, कई साधारण संख्या 11, 13, 17, 1 9, 23, और इसी तरह 47 पर हमें आगे खोजने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि वे पहले से ही कई कम संख्या के रूप में पार हो जाएंगे 2 , 3, 5 और 7।

यह संख्या सरल या समग्र है?

कुछ कार्यों को स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है कि यह संख्या सरल या समग्र है। आम तौर पर, यह कार्य सरल से बहुत दूर है, खासकर संख्याओं के लिए, जिसमें से रिकॉर्ड में वर्ण की संख्या शामिल है। ज्यादातर मामलों में, इसे हल करने के लिए किसी भी विशिष्ट तरीके की तलाश करना आवश्यक है। हालांकि, हम साधारण मामलों के लिए विचारों की दिशा देने की कोशिश करेंगे।

निस्संदेह, आप इस तथ्य को विकसित करने के लिए विभाजन के संकेतों का लाभ उठाने का प्रयास कर सकते हैं कि यह संख्या समग्र है। यदि, उदाहरण के लिए, विभाज्यता के कुछ नमूने से पता चलता है कि यह संख्या अधिक इकाइयों की कुछ पूर्णांक सकारात्मक संख्या में विभाजित है, प्रारंभिक संख्या समग्र है।

उदाहरण।

साबित करें कि संख्या 898 98 9 898 98 9 898 98 9 समग्र।

फेसला।

इस संख्या की संख्या का योग 9 · 8 + 9 · 9 \u003d 9 · 17 है। चूंकि 9 · 17 के बराबर संख्या 9 में विभाजित है, 9 पर विभाज्यता के आधार पर यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रारंभिक संख्या 9 से भी विभाजित है। नतीजतन, यह समग्र है।

इस दृष्टिकोण की एक महत्वपूर्ण कमी इस तथ्य में निहित है कि विभाज्यता के संकेत संख्या की सादगी को साबित करने की अनुमति नहीं देते हैं। इसलिए, यह सुनिश्चित करते समय कि यह सरल या समग्र है या नहीं, आपको अलग-अलग कार्य करने की आवश्यकता है।

सबसे तार्किक दृष्टिकोण इस संख्या के सभी संभावित divisors का आनंद लेना है। यदि कोई भी संभावित विभाजक इस संख्या का एक वास्तविक विभक्त नहीं है, तो यह संख्या सरल होगी, अन्यथा यौगिक। पिछले पैराग्राफ में साबित होने वाले प्रमेय से, यह इस प्रकार है कि इस संख्या के डिवाइडर को सरल संख्याओं के बीच मांगा जाना चाहिए जो बेहतर नहीं हैं। इस प्रकार, इस संख्या ए को अनुक्रमिक रूप से सरल संख्या में विभाजित किया जा सकता है (जो संख्या संख्या के विभाजक को खोजने की कोशिश कर रहा है, जो प्रमुख संख्याओं की तालिका से लेने के लिए सुविधाजनक है)। यदि एक विभक्त पाया जाता है, तो संख्या a समग्र है। यदि, सरल संख्याओं में से अधिक नहीं, संख्या का विभेदक नहीं होगा, तो संख्या ए सरल है।

उदाहरण।

संख्या 11 723 सरल या समग्र?

फेसला।

यह पता लगाएं कि कौन सा सरल संख्या 11 723 के विभाजक हो सकती है। इसके लिए हम अनुमान लगाते हैं।

यह काफी स्पष्ट है कि , 200 2 \u003d 40 000, और 11 723 के रूप में<40 000 (при необходимости смотрите статью संख्याओं की तुलना)। इस प्रकार, संख्या 200 से कम संख्या 11 723 के संभावित सरल डिवाइडर। यह पहले से ही हमारे कार्य की सुविधा प्रदान करता है। अगर हमें यह नहीं पता था, तो हमें सभी साधारण संख्याओं को 200 तक नहीं, और संख्या 11 723 तक हल करना होगा।

यदि वांछित है, तो आप अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं। 108 2 \u003d 11 664, और 109 2 \u003d 11 881, फिर 108 2 के बाद से<11 723<109 2 , следовательно, । इस प्रकार, 109 से छोटे प्राइम नंबरों में से कोई भी संभावित रूप से इस नंबर 11 723 का एक साधारण विभक्त है।

अब हम लगातार संख्या 11 723 को सरल संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 2 9, 9, 37, 23, 23, 31, 37, 23, 23, 31, 37, 71, 73, 79 पर विभाजित करेंगे , 83, 89, 9 7, 101, 103, 107। यदि संख्या 11 723 को रिकॉर्ड किए गए साधारण संख्याओं में से एक के उद्देश्य से विभाजित किया गया है, तो यह समग्र होगा। यदि यह रिकॉर्ड किए गए साधारण संख्याओं में से एक में विभाजित नहीं है, तो प्रारंभिक संख्या सरल है।

हम पूरे नीरस और नीरस विभाजन प्रक्रिया का वर्णन नहीं करेंगे। तुरंत कहें कि 11 723